Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 x + 200}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 5 x + 200}$

Этап 1.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 x + 200}$

Этап 1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 x + 200} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 200]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 200]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 x + 200]}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $5 x + 200$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [200]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [200]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [200]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [200]}$

Этап 3.4.3

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 + \frac{d}{d x} [200]}$

Этап 3.5

Поскольку $200$ является константой относительно $x$ , производная $200$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 + 0}$

Этап 3.6

Добавим $5$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5}$

Этап 4

Поскольку функция $e^{x}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $\frac{1}{5}$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $\frac{1}{5}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{x}$

Этап 4.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\infty$