Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} {(\frac{3 x - 2}{3 x + 4})}^{3 x + 1}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(\frac{3 x - 2}{3 x + 4})}^{3 x + 1}$ в виде $e^{\ln ({(\frac{3 x - 2}{3 x + 4})}^{3 x + 1})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{3 x - 2}{3 x + 4})}^{3 x + 1})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(\frac{3 x - 2}{3 x + 4})}^{3 x + 1})$ , вынося $3 x + 1$ из логарифма.

$lim_{x \to \infty} e^{(3 x + 1) \ln (\frac{3 x - 2}{3 x + 4})}$

Этап 2

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to \infty} (3 x + 1) \ln (\frac{3 x - 2}{3 x + 4})}$

Этап 3

Перепишем $(3 x + 1) \ln (\frac{3 x - 2}{3 x + 4})$ в виде $\frac{\ln (\frac{3 x - 2}{3 x + 4})}{\frac{1}{3 x + 1}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{3 x - 2}{3 x + 4})}{\frac{1}{3 x + 1}}}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{3 x - 2}{3 x + 4})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 1}}}$

Этап 4.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{3 x - 2}{3 x + 4})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x}{x} + \frac{- 2}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x}{x} + \frac{- 2}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.3.1.1.2

Разделим $3$ на $1$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{- 2}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.3.2.2

Разделим $3$ на $1$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{3 + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 3 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.3.5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{3 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.3.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{3 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{3 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{3 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.5.2

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{3 - 2 \cdot 0}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.5.3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{3 - 2 \cdot 0}{3 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.6

$e^{\frac{\ln (\frac{3 - 2 \cdot 0}{3 + 4 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{3 + 0}{3 + 4 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.7.1.2

Добавим $3$ и $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{3}{3 + 4 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.2.1

Умножим $4$ на $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{3}{3 + 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.7.2.2

Добавим $3$ и $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{3}{3})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.7.3

Разделим $3$ на $3$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 1}}}$

Этап 4.1.2.7.4

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 1}}}$

Этап 4.1.3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{3 x + 1}$ стремится к $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 4.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 4.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{3 x - 2}{3 x + 4})}{\frac{1}{3 x + 1}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{3 x - 2}{3 x + 4})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{3 x - 2}{3 x + 4})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{3 x - 2}{3 x + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{3 x - 2}{3 x + 4}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 2}{3 x + 4}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 2}{3 x + 4}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{3 x - 2}{3 x + 4}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{3 x - 2}{3 x + 4}} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 2}{3 x + 4}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{3 x - 2}{3 x + 4}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{3 x + 4}{3 x - 2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 2}{3 x + 4}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.4

Умножим $\frac{3 x + 4}{3 x - 2}$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 4}{3 x - 2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 2}{3 x + 4}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.5

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 x - 2$ и $g (x) = 3 x + 4$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 4}{3 x - 2} \cdot \frac{(3 x + 4) \frac{d}{d x} [3 x - 2] - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.6

По правилу суммы производная $3 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 4}{3 x - 2} \cdot \frac{(3 x + 4) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.7

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 4}{3 x - 2} \cdot \frac{(3 x + 4) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 4}{3 x - 2} \cdot \frac{(3 x + 4) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.9

Умножим $3$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 4}{3 x - 2} \cdot \frac{(3 x + 4) (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.10

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 4}{3 x - 2} \cdot \frac{(3 x + 4) (3 + 0) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.11

Добавим $3$ и $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 4}{3 x - 2} \cdot \frac{(3 x + 4) \cdot 3 - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.12

Перенесем $3$ влево от $3 x + 4$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 4}{3 x - 2} \cdot \frac{3 \cdot (3 x + 4) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.13

По правилу суммы производная $3 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 4}{3 x - 2} \cdot \frac{3 (3 x + 4) - (3 x - 2) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(3 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.14

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 4}{3 x - 2} \cdot \frac{3 (3 x + 4) - (3 x - 2) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(3 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 4}{3 x - 2} \cdot \frac{3 (3 x + 4) - (3 x - 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(3 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.16

Умножим $3$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 4}{3 x - 2} \cdot \frac{3 (3 x + 4) - (3 x - 2) (3 + \frac{d}{d x} [4])}{{(3 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.17

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 4}{3 x - 2} \cdot \frac{3 (3 x + 4) - (3 x - 2) (3 + 0)}{{(3 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.18

Добавим $3$ и $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 4}{3 x - 2} \cdot \frac{3 (3 x + 4) - (3 x - 2) \cdot 3}{{(3 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.19

Умножим $3$ на $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 4}{3 x - 2} \cdot \frac{3 (3 x + 4) - 3 (3 x - 2)}{{(3 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.20

Умножим $\frac{3 x + 4}{3 x - 2}$ на $\frac{3 (3 x + 4) - 3 (3 x - 2)}{{(3 x + 4)}^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(3 x + 4) (3 (3 x + 4) - 3 (3 x - 2))}{(3 x - 2) {(3 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.21

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.21.1

Вынесем множитель $3 x + 4$ из $(3 x - 2) {(3 x + 4)}^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(3 x + 4) (3 (3 x + 4) - 3 (3 x - 2))}{(3 x + 4) (3 x - 2) (3 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.21.2

Сократим общий множитель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(3 x + 4) (3 (3 x + 4) - 3 (3 x - 2))}{(3 x + 4) (3 x - 2) (3 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.21.3

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 (3 x + 4) - 3 (3 x - 2)}{(3 x - 2) (3 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.22

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.22.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 \cdot 3 x + 3 \cdot 4 - 3 (3 x - 2)}{(3 x - 2) (3 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.22.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 \cdot 3 x + 3 \cdot 4 - 3 \cdot 3 x - 3 \cdot - 2}{(3 x - 2) (3 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.22.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.22.3.1

Объединим противоположные члены в $3 (3 x) + 3 \cdot 4 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.22.3.1.1

Вычтем $3 (3 x)$ из $3 (3 x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 \cdot 4 + 0 - 3 \cdot - 2}{(3 x - 2) (3 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.22.3.1.2

Добавим $3 \cdot 4$ и $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 \cdot 4 - 3 \cdot - 2}{(3 x - 2) (3 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.22.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.22.3.2.1

Умножим $3$ на $4$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{12 - 3 \cdot - 2}{(3 x - 2) (3 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.22.3.2.2

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{12 + 6}{(3 x - 2) (3 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.22.3.3

Добавим $12$ и $6$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{18}{(3 x - 2) (3 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.22.4

Изменим порядок членов.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{18}{(3 x + 4) (3 x - 2)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x + 1}]}}$

Этап 4.3.23

Перепишем $\frac{1}{3 x + 1}$ в виде ${(3 x + 1)}^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{18}{(3 x + 4) (3 x - 2)}}{\frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{- 1}]}}$

Этап 4.3.24

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.24.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x + 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{18}{(3 x + 4) (3 x - 2)}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x + 1]}}$

Этап 4.3.24.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{18}{(3 x + 4) (3 x - 2)}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x + 1]}}$

Этап 4.3.24.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x + 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{18}{(3 x + 4) (3 x - 2)}}{- {(3 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x + 1]}}$

Этап 4.3.25

По правилу суммы производная $3 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{18}{(3 x + 4) (3 x - 2)}}{- {(3 x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}}$

Этап 4.3.26

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{18}{(3 x + 4) (3 x - 2)}}{- {(3 x + 1)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}}$

Этап 4.3.27

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{18}{(3 x + 4) (3 x - 2)}}{- {(3 x + 1)}^{- 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}}$

Этап 4.3.28

Умножим $3$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{18}{(3 x + 4) (3 x - 2)}}{- {(3 x + 1)}^{- 2} (3 + \frac{d}{d x} [1])}}$

Этап 4.3.29

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{18}{(3 x + 4) (3 x - 2)}}{- {(3 x + 1)}^{- 2} (3 + 0)}}$

Этап 4.3.30

Добавим $3$ и $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{18}{(3 x + 4) (3 x - 2)}}{- {(3 x + 1)}^{- 2} \cdot 3}}$

Этап 4.3.31

Умножим $3$ на $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{18}{(3 x + 4) (3 x - 2)}}{- 3 {(3 x + 1)}^{- 2}}}$

Этап 4.3.32

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.32.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{18}{(3 x + 4) (3 x - 2)}}{- 3 \frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}}}$

Этап 4.3.32.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.32.2.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{18}{(3 x + 4) (3 x - 2)}}{\frac{- 3}{{(3 x + 1)}^{2}}}}$

Этап 4.3.32.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{18}{(3 x + 4) (3 x - 2)}}{- \frac{3}{{(3 x + 1)}^{2}}}}$

Этап 4.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{18}{(3 x + 4) (3 x - 2)} \cdot - 1 \frac{{(3 x + 1)}^{2}}{3}}$

Этап 4.5

Умножим $\frac{18}{(3 x + 4) (3 x - 2)}$ на $\frac{{(3 x + 1)}^{2}}{3}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{18 {(3 x + 1)}^{2}}{(3 x + 4) (3 x - 2) \cdot 3}}$

Этап 4.6

Сократим общий множитель $18$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $3$ из $18 {(3 x + 1)}^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{3 \cdot 6 {(3 x + 1)}^{2}}{(3 x + 4) (3 x - 2) \cdot 3}}$

Этап 4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $(3 x + 4) (3 x - 2) \cdot 3$ .

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{3 \cdot 6 {(3 x + 1)}^{2}}{3 \cdot (3 x + 4) (3 x - 2)}}$

Этап 4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{3 \cdot 6 {(3 x + 1)}^{2}}{3 \cdot (3 x + 4) (3 x - 2)}}$

Этап 4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{6 {(3 x + 1)}^{2}}{(3 x + 4) (3 x - 2)}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{6 {(3 x + 1)}^{2}}{(3 x + 4) (3 x - 2)}}$

Этап 5.2

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- 6 lim_{x \to \infty} \frac{{(3 x + 1)}^{2}}{(3 x + 4) (3 x - 2)}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(3 x + 4) (3 x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- 6 lim_{x \to \infty} \frac{{(3 x + 1)}^{2}}{3 x (3 x - 2) + 4 (3 x - 2)}}$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- 6 lim_{x \to \infty} \frac{{(3 x + 1)}^{2}}{3 x \cdot 3 x + 3 x \cdot - 2 + 4 (3 x - 2)}}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- 6 lim_{x \to \infty} \frac{{(3 x + 1)}^{2}}{3 x \cdot 3 x + 3 x \cdot - 2 + 4 \cdot 3 x + 4 \cdot - 2}}$

Этап 6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- 6 lim_{x \to \infty} \frac{{(3 x + 1)}^{2}}{3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 + 4 \cdot 3 x + 4 \cdot - 2}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$e^{- 6 lim_{x \to \infty} \frac{{(3 x + 1)}^{2}}{3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 2 + 4 \cdot 3 x + 4 \cdot - 2}}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$e^{- 6 lim_{x \to \infty} \frac{{(3 x + 1)}^{2}}{9 x^{2} + 3 x \cdot - 2 + 4 \cdot 3 x + 4 \cdot - 2}}$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- 2$ на $3$ .

$e^{- 6 lim_{x \to \infty} \frac{{(3 x + 1)}^{2}}{9 x^{2} - 6 x + 4 \cdot 3 x + 4 \cdot - 2}}$

Этап 6.2.1.5

Умножим $3$ на $4$ .

$e^{- 6 lim_{x \to \infty} \frac{{(3 x + 1)}^{2}}{9 x^{2} - 6 x + 12 x + 4 \cdot - 2}}$

Этап 6.2.1.6

Умножим $4$ на $- 2$ .

$e^{- 6 lim_{x \to \infty} \frac{{(3 x + 1)}^{2}}{9 x^{2} - 6 x + 12 x - 8}}$

Этап 6.2.2

Добавим $- 6 x$ и $12 x$ .

$e^{- 6 lim_{x \to \infty} \frac{{(3 x + 1)}^{2}}{9 x^{2} + 6 x - 8}}$

Этап 7

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе.

$e^{- 6 lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}} + \frac{- 8}{x^{2}}}}$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

$e^{- 6 lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{9 + \frac{6}{x} - \frac{8}{x^{2}}}}$

Этап 8.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{- 6 \frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{6}{x} - \frac{8}{x^{2}}}}$

Этап 8.3

Вынесем степень $2$ в выражении ${(\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$e^{- 6 \frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{6}{x} - \frac{8}{x^{2}}}}$

Этап 8.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{- 6 \frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{6}{x} - \frac{8}{x^{2}}}}$

Этап 8.5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- 6 \frac{{(3 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{6}{x} - \frac{8}{x^{2}}}}$

Этап 8.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Сократим общий множитель.

$e^{- 6 \frac{{(3 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{6}{x} - \frac{8}{x^{2}}}}$

Этап 8.6.2

Перепишем это выражение.

$e^{- 6 \frac{{(3 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{6}{x} - \frac{8}{x^{2}}}}$

Этап 8.7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{- 6 \frac{{(3 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{6}{x} - \frac{8}{x^{2}}}}$

Этап 9

$e^{- 6 \frac{{(3 \cdot 1 + 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{6}{x} - \frac{8}{x^{2}}}}$

Этап 10

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{- 6 \frac{{(3 \cdot 1 + 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{2}}}}$

Этап 10.2

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{- 6 \frac{{(3 \cdot 1 + 0)}^{2}}{9 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{2}}}}$

Этап 10.3

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- 6 \frac{{(3 \cdot 1 + 0)}^{2}}{9 + 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{2}}}}$

Этап 11

$e^{- 6 \frac{{(3 \cdot 1 + 0)}^{2}}{9 + 6 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{2}}}}$

Этап 12

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- 6 \frac{{(3 \cdot 1 + 0)}^{2}}{9 + 6 \cdot 0 - 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 13

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$e^{- 6 \frac{{(3 \cdot 1 + 0)}^{2}}{9 + 6 \cdot 0 - 8 \cdot 0}}$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Умножим $3$ на $1$ .

$e^{- 6 \frac{{(3 + 0)}^{2}}{9 + 6 \cdot 0 - 8 \cdot 0}}$

Этап 14.1.2

Добавим $3$ и $0$ .

$e^{- 6 \frac{3^{2}}{9 + 6 \cdot 0 - 8 \cdot 0}}$

Этап 14.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$e^{- 6 \frac{9}{9 + 6 \cdot 0 - 8 \cdot 0}}$

Этап 14.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Умножим $6$ на $0$ .

$e^{- 6 \frac{9}{9 + 0 - 8 \cdot 0}}$

Этап 14.2.2

Умножим $- 8$ на $0$ .

$e^{- 6 \frac{9}{9 + 0 + 0}}$

Этап 14.2.3

Добавим $9 + 0$ и $0$ .

$e^{- 6 \frac{9}{9 + 0}}$

Этап 14.2.4

Добавим $9$ и $0$ .

$e^{- 6 (\frac{9}{9})}$

Этап 14.3

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Сократим общий множитель.

$e^{- 6 (\frac{9}{9})}$

Этап 14.3.2

Перепишем это выражение.

$e^{- 6 \cdot 1}$

Этап 14.4

Умножим $- 6$ на $1$ .

$e^{- 6}$

Этап 15

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{6}}$