Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - x - 1}{\cos (x) - 1}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - x - 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Этап 1.2.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Этап 1.2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Этап 1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0} - lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Этап 1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0} + 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Этап 1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 + 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Этап 1.2.5.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 + 0 - 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Этап 1.2.5.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Этап 1.2.5.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 1.3.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{\cos (0) - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - x - 1}{\cos (x) - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - x - 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - x - 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $e^{x} - x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Этап 3.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Этап 3.6

Добавим $e^{x} - 1$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $\cos (x) - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.8

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{- \sin (x) + 0}$

Этап 3.10

Добавим $- \sin (x)$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{- \sin (x)}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Этап 4.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Этап 4.1.2.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Этап 4.1.2.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Этап 4.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Этап 4.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Этап 4.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Этап 4.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Этап 4.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{- lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 4.1.3.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{- \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{- \sin (0)}$

Этап 4.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{- 0}$

Этап 4.1.3.3.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 4.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 4.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 4.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{- \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3.2

По правилу суммы производная $e^{x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3.3

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3.5

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{- \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 4.3.7

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{- \cos (x)}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - \cos (x)}$

Этап 5.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} - \cos (x)}$

Этап 5.3

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{- lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 5.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{- \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0}}{- \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0}}{- \cos (0)}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим дроби.

$\frac{e^{0}}{- 1} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Этап 7.2

Переведем $\frac{1}{\cos (0)}$ в $\sec (0)$ .

$\frac{e^{0}}{- 1} \sec (0)$

Этап 7.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{e^{0}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot e^{0} \sec (0)$

Этап 7.4

Перепишем $- 1 \cdot e^{0}$ в виде $- e^{0}$ .

$- e^{0} \sec (0)$

Этап 7.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- 1 \cdot 1 \sec (0)$

Этап 7.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \sec (0)$

Этап 7.7

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 7.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$