Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 7 x^{2} + 10 x}{x^{2} + x - 6}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - 7 x^{2} + 10 x}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 7 x^{2} + lim_{x \to 2} 10 x}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Этап 1.2.2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 7 x^{2} + lim_{x \to 2} 10 x}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Этап 1.2.3

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 7 lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 10 x}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Этап 1.2.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 7 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 10 x}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Этап 1.2.5

Вынесем член $10$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 7 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 10 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Этап 1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{3} - 7 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 10 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Этап 1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{3} - 7 \cdot 2^{2} + 10 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Этап 1.2.6.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{3} - 7 \cdot 2^{2} + 10 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Этап 1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{8 - 7 \cdot 2^{2} + 10 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Этап 1.2.7.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{8 - 7 \cdot 4 + 10 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Этап 1.2.7.1.3

Умножим $- 7$ на $4$ .

$\frac{8 - 28 + 10 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Этап 1.2.7.1.4

Умножим $10$ на $2$ .

$\frac{8 - 28 + 20}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Этап 1.2.7.2

Вычтем $28$ из $8$ .

$\frac{- 20 + 20}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Этап 1.2.7.3

Добавим $- 20$ и $20$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 6}$

Этап 1.3.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 6}$

Этап 1.3.3

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 6}$

Этап 1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{2^{2} + lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 6}$

Этап 1.3.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{2^{2} + 2 - 1 \cdot 6}$

Этап 1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{4 + 2 - 1 \cdot 6}$

Этап 1.3.5.1.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{0}{4 + 2 - 6}$

Этап 1.3.5.2

Добавим $4$ и $2$ .

$\frac{0}{6 - 6}$

Этап 1.3.5.3

Вычтем $6$ из $6$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.5.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 7 x^{2} + 10 x}{x^{2} + x - 6} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 7 x^{2} + 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 7 x^{2} + 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x^{3} - 7 x^{2} + 10 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x^{2}$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

Этап 3.4.3

Умножим $2$ на $- 7$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

Этап 3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 14 x + 10 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 14 x + 10 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

Этап 3.5.3

Умножим $10$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 14 x + 10}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

Этап 3.6

По правилу суммы производная $x^{2} + x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 14 x + 10}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 14 x + 10}{2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 14 x + 10}{2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Этап 3.9

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 14 x + 10}{2 x + 1 + 0}$

Этап 3.10

Добавим $2 x + 1$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 14 x + 10}{2 x + 1}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 14 x + 10}{lim_{x \to 2} 2 x + 1}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 14 x + lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} 2 x + 1}$

Этап 6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 14 x + lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} 2 x + 1}$

Этап 7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 14 x + lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} 2 x + 1}$

Этап 8

Вынесем член $14$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 14 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} 2 x + 1}$

Этап 9

Найдем предел $10$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 14 lim_{x \to 2} x + 10}{lim_{x \to 2} 2 x + 1}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 14 lim_{x \to 2} x + 10}{lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 1}$

Этап 11

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 14 lim_{x \to 2} x + 10}{2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 1}$

Этап 12

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 14 lim_{x \to 2} x + 10}{2 lim_{x \to 2} x + 1}$

Этап 13

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 14 lim_{x \to 2} x + 10}{2 lim_{x \to 2} x + 1}$

Этап 13.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 14 \cdot 2 + 10}{2 lim_{x \to 2} x + 1}$

Этап 13.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 14 \cdot 2 + 10}{2 \cdot 2 + 1}$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{3 \cdot 4 - 14 \cdot 2 + 10}{2 \cdot 2 + 1}$

Этап 14.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{12 - 14 \cdot 2 + 10}{2 \cdot 2 + 1}$

Этап 14.1.3

Умножим $- 14$ на $2$ .

$\frac{12 - 28 + 10}{2 \cdot 2 + 1}$

Этап 14.1.4

Вычтем $28$ из $12$ .

$\frac{- 16 + 10}{2 \cdot 2 + 1}$

Этап 14.1.5

Добавим $- 16$ и $10$ .

$\frac{- 6}{2 \cdot 2 + 1}$

Этап 14.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{- 6}{4 + 1}$

Этап 14.2.2

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{- 6}{5}$

Этап 14.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6}{5}$