Математический анализ Примеры

$lim_{θ \to π} \frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $θ$ к $π$ .

$\frac{lim_{θ \to π} 1 + \cos (θ)}{lim_{θ \to π} 1 - \cos (θ)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $θ$ к $π$ .

$\frac{lim_{θ \to π} 1 + lim_{θ \to π} \cos (θ)}{lim_{θ \to π} 1 - \cos (θ)}$

Этап 3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $θ$ к $π$ .

$\frac{1 + lim_{θ \to π} \cos (θ)}{lim_{θ \to π} 1 - \cos (θ)}$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1 + \cos (lim_{θ \to π} θ)}{lim_{θ \to π} 1 - \cos (θ)}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $θ$ к $π$ .

$\frac{1 + \cos (lim_{θ \to π} θ)}{lim_{θ \to π} 1 - lim_{θ \to π} \cos (θ)}$

Этап 6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $θ$ к $π$ .

$\frac{1 + \cos (lim_{θ \to π} θ)}{1 - lim_{θ \to π} \cos (θ)}$

Этап 7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1 + \cos (lim_{θ \to π} θ)}{1 - \cos (lim_{θ \to π} θ)}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $π$ для всех вхождений $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $θ$ , подставив значение $π$ для $θ$ .

$\frac{1 + \cos (π)}{1 - \cos (lim_{θ \to π} θ)}$

Этап 8.2

Найдем предел $θ$ , подставив значение $π$ для $θ$ .

$\frac{1 + \cos (π)}{1 - \cos (π)}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{1 - \cos (0)}{1 - \cos (π)}$

Этап 9.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{1 - \cos (π)}$

Этап 9.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{1 - \cos (π)}$

Этап 9.1.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{1 - \cos (π)}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

$\frac{0}{1 - - \cos (0)}$

Этап 9.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0}{1 - (- 1 \cdot 1)}$

Этап 9.2.3

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - - 1}$

Этап 9.2.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{0}{1 + 1}$

Этап 9.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{0}{2}$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{2 (0)}{2}$

Этап 9.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Этап 9.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Этап 9.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{1}$

Этап 9.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$0$