Математический анализ Примеры

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \tan (θ^{\cos (θ)})$

Этап 1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\tan (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ^{\cos (θ)})$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $θ^{\cos (θ)}$ в виде $e^{\ln (θ^{\cos (θ)})}$ .

$\tan (lim_{θ \to \frac{π}{2}} e^{\ln (θ^{\cos (θ)})})$

Этап 2.2

Развернем $\ln (θ^{\cos (θ)})$ , вынося $\cos (θ)$ из логарифма.

$\tan (lim_{θ \to \frac{π}{2}} e^{\cos (θ) \ln (θ)})$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$\tan (e^{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (θ) \ln (θ)})$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $θ$ к $\frac{π}{2}$ .

$\tan (e^{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \ln (θ)})$

Этап 3.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\tan (e^{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \ln (θ)})$

Этап 3.4

Внесем предел под знак логарифма.

$\tan (e^{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot \ln (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)})$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{2}$ для всех вхождений $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $θ$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $θ$ .

$\tan (e^{\cos (\frac{π}{2}) \cdot \ln (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)})$

Этап 4.2

Найдем предел $θ$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $θ$ .

$\tan (e^{\cos (\frac{π}{2}) \cdot \ln (\frac{π}{2})})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\tan (e^{0 \cdot \ln (\frac{π}{2})})$

Этап 5.2

Упростим $0 \cdot \ln (\frac{π}{2})$ путем переноса $0$ под логарифм.

$\tan (e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{0})})$

Этап 5.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\tan ({(\frac{π}{2})}^{0})$

Этап 5.4

Применим правило умножения к $\frac{π}{2}$ .

$\tan (\frac{π^{0}}{2^{0}})$

Этап 5.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\tan (\frac{1}{2^{0}})$

Этап 5.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\tan (\frac{1}{1})$

Этап 5.7

Разделим $1$ на $1$ .

$\tan (1)$

Этап 5.8

Найдем значение $\tan (1)$ .

$1.55740772$