Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 \tan^{-1} (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \tan^{-1} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 \tan^{-1} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 \tan^{-1} (x)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (x)]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\tan^{-1} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Этап 1.1.2.2

Производная $\tan^{-1} (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{1}{1 + x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Этап 1.1.2.3

Объединим $5$ и $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{3}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 3 \frac{d}{d x} x^{3}$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 3 (3 x^{2})$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 9 x^{2}$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.1

Чтобы записать $- 9 x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 9 x^{2} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.4.1.2

Объединим $- 9 x^{2}$ и $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} + \frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.4.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{5 - 9 x^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.4.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5 = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 9 x^{2} \cdot 1 - 9 x^{2} x^{2} + 5 = 0$

Этап 2.3.1.2

Умножим $- 9$ на $1$ .

$- 9 x^{2} - 9 x^{2} x^{2} + 5 = 0$

Этап 2.3.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 9 x^{2} - 9 (x^{2} x^{2}) + 5 = 0$

Этап 2.3.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 9 x^{2} - 9 x^{2 + 2} + 5 = 0$

Этап 2.3.1.3.3

Добавим $2$ и $2$ .

$- 9 x^{2} - 9 x^{4} + 5 = 0$

Этап 2.3.2

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$- 9 u^{2} - 9 u + 5 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 2.3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.3.4

Подставим значения $a = - 9$ , $b = - 9$ и $c = 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 9 \cdot 5)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Этап 2.3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Этап 2.3.5.1.2.2

Умножим $36$ на $5$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

Этап 2.3.5.1.3

Добавим $81$ и $180$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

Этап 2.3.5.1.4

Перепишем $261$ в виде $3^{2} \cdot 29$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.4.1

Вынесем множитель $9$ из $261$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 2.3.5.1.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

Этап 2.3.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

Этап 2.3.5.2

Умножим $2$ на $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

Этап 2.3.5.3

Упростим $\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

Этап 2.3.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

Этап 2.3.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Этап 2.3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Этап 2.3.6.1.2.2

Умножим $36$ на $5$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

Этап 2.3.6.1.3

Добавим $81$ и $180$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

Этап 2.3.6.1.4

Перепишем $261$ в виде $3^{2} \cdot 29$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1.4.1

Вынесем множитель $9$ из $261$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 2.3.6.1.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

Этап 2.3.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

Этап 2.3.6.2

Умножим $2$ на $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

Этап 2.3.6.3

Упростим $\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

Этап 2.3.6.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

Этап 2.3.6.5

Заменим $\pm$ на $+$ .

$u = - \frac{3 + \sqrt{29}}{6}$

Этап 2.3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Этап 2.3.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Этап 2.3.7.1.2.2

Умножим $36$ на $5$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

Этап 2.3.7.1.3

Добавим $81$ и $180$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

Этап 2.3.7.1.4

Перепишем $261$ в виде $3^{2} \cdot 29$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1.4.1

Вынесем множитель $9$ из $261$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 2.3.7.1.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

Этап 2.3.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

Этап 2.3.7.2

Умножим $2$ на $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

Этап 2.3.7.3

Упростим $\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

Этап 2.3.7.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

Этап 2.3.7.5

Заменим $\pm$ на $-$ .

$u = - \frac{3 - \sqrt{29}}{6}$

Этап 2.3.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = - \frac{3 + \sqrt{29}}{6}, - \frac{3 - \sqrt{29}}{6}$

Этап 2.3.9

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = - 1.39752746$

${(x^{2})}^{1} = 0.39752746$

Этап 2.3.10

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = - 1.39752746$

Этап 2.3.11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1.39752746}$

Этап 2.3.11.2

Упростим $\pm \sqrt{- 1.39752746}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.2.1

Перепишем $- 1.39752746$ в виде $- 1 (1.39752746)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (1.39752746)}$

Этап 2.3.11.2.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (1.39752746)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.39752746}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.39752746}$

Этап 2.3.11.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{1.39752746}$

Этап 2.3.11.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{1.39752746}$

Этап 2.3.11.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{1.39752746}$

Этап 2.3.11.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}$

Этап 2.3.12

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 0.39752746$

Этап 2.3.13

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.13.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 0.39752746$

Этап 2.3.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0.39752746}$

Этап 2.3.13.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.13.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{0.39752746}$

Этап 2.3.13.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{0.39752746}$

Этап 2.3.13.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$

Этап 2.3.14

Решением $- 9 x^{4} - 9 x^{2} + 5 = 0$ является $x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}, \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$ .

$x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}, \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \sqrt{0.39752746}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\sqrt{0.39752746}$ вместо $x$ .

$5 \tan^{-1} (\sqrt{0.39752746}) - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Найдем значение $\tan^{-1} (\sqrt{0.39752746})$ .

$5 \cdot 0.56254301 - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $5$ на $0.56254301$ .

$2.81271509 - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

Этап 4.1.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{0.39752746}}^{3}$ в виде $\sqrt{{0.39752746}^{3}}$ .

$2.81271509 - 3 \sqrt{{0.39752746}^{3}}$

Этап 4.1.2.1.4

Возведем $0.39752746$ в степень $3$ .

$2.81271509 - 3 \sqrt{0.0628205}$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $3 \sqrt{0.0628205}$ из $2.81271509$ .

$2.06079452$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - \sqrt{0.39752746}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- \sqrt{0.39752746}$ вместо $x$ .

$5 \tan^{-1} (- \sqrt{0.39752746}) - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Найдем значение $\tan^{-1} (- \sqrt{0.39752746})$ .

$5 \cdot - 0.56254301 - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $5$ на $- 0.56254301$ .

$- 2.81271509 - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

Этап 4.2.2.1.3

Применим правило умножения к $- \sqrt{0.39752746}$ .

$- 2.81271509 - 3 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.39752746}}^{3})$

Этап 4.2.2.1.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 2.81271509 - 3 (- {\sqrt{0.39752746}}^{3})$

Этап 4.2.2.1.5

Перепишем ${\sqrt{0.39752746}}^{3}$ в виде $\sqrt{{0.39752746}^{3}}$ .

$- 2.81271509 - 3 (- \sqrt{{0.39752746}^{3}})$

Этап 4.2.2.1.6

Возведем $0.39752746$ в степень $3$ .

$- 2.81271509 - 3 (- \sqrt{0.0628205})$

Этап 4.2.2.1.7

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$- 2.81271509 + 3 \sqrt{0.0628205}$

Этап 4.2.2.2

Добавим $- 2.81271509$ и $3 \sqrt{0.0628205}$ .

$- 2.06079452$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(\sqrt{0.39752746}, 2.06079452), (- \sqrt{0.39752746}, - 2.06079452)$

Этап 5