Математический анализ Примеры

$y = x^{\frac{2}{3}} (x - 1)$

Этап 1

Запишем $y = x^{\frac{2}{3}} (x - 1)$ в виде функции.

$f (x) = x^{\frac{2}{3}} (x - 1)$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ и $g (x) = x - 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 2.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 2.2.4.2

Умножим $x^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Этап 2.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Этап 2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Этап 2.8

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 2.9

Перенесем $x^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{\frac{2}{3}} + x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.10.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Объединим $x$ и $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{x \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.10.2.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 \cdot x}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.10.2.3

Перенесем $x^{\frac{1}{3}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x \cdot x^{- \frac{1}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.10.2.4

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.4.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x)}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.10.2.4.2

Умножим $x^{- \frac{1}{3}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x^{1})}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.10.2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 1}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.10.2.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.10.2.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{\frac{- 1 + 3}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.10.2.4.5

Добавим $- 1$ и $3$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.10.2.5

Перепишем $- 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ в виде $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.10.2.6

Чтобы записать $x^{\frac{2}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.10.2.7

Объединим $x^{\frac{2}{3}}$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.10.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.10.2.9

Перенесем $3$ влево от $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.10.2.10

Добавим $3 x^{\frac{2}{3}}$ и $2 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $\frac{5}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ по $x$ равна $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Этап 3.2.2

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Этап 3.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Этап 3.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Этап 3.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Этап 3.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Этап 3.2.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Этап 3.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Этап 3.2.8

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Этап 3.2.9

Умножим $\frac{5}{3}$ на $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Этап 3.2.10

Умножим $2$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Этап 3.2.11

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Этап 3.2.12

Перенесем $x^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- \frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ по $x$ равна $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

Этап 3.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Этап 3.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Этап 3.3.5.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Этап 3.3.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Этап 3.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Этап 3.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Этап 3.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Этап 3.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.9.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Этап 3.3.9.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Этап 3.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Этап 3.3.11

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Этап 3.3.12

Объединим $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Этап 3.3.13

Умножим $x^{- \frac{2}{3}}$ на $x^{- \frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.13.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Этап 3.3.13.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Этап 3.3.13.3

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Этап 3.3.13.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Этап 3.3.14

Перенесем $x^{- \frac{4}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Этап 3.3.15

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + 1 (\frac{2}{3}) \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.3.16

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.3.17

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Этап 3.3.18

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Этап 5.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Этап 5.1.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Этап 5.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Этап 5.1.2.4.2

Умножим $x^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Этап 5.1.2.5

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Этап 5.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 5.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 5.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 5.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Этап 5.1.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Этап 5.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Этап 5.1.8

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Этап 5.1.9

Перенесем $x^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Этап 5.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + x (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}) - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5.1.10.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.10.2.1

Объединим $x$ и $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{x \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5.1.10.2.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 \cdot x}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5.1.10.2.3

Перенесем $x^{\frac{1}{3}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x \cdot x^{- \frac{1}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5.1.10.2.4

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.10.2.4.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x)}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5.1.10.2.4.2

Умножим $x^{- \frac{1}{3}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.10.2.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x)}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5.1.10.2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 1}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5.1.10.2.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5.1.10.2.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{\frac{- 1 + 3}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5.1.10.2.4.5

Добавим $- 1$ и $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5.1.10.2.5

Перепишем $- 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ в виде $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5.1.10.2.6

Чтобы записать $x^{\frac{2}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5.1.10.2.7

Объединим $x^{\frac{2}{3}}$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5.1.10.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5.1.10.2.9

Перенесем $3$ влево от $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5.1.10.2.10

Добавим $3 x^{\frac{2}{3}}$ и $2 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 6.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Этап 6.2.2

Since $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 3, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{1}{3}}$ .

Этап 6.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 6.2.4

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 6.2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 6.2.6

НОК $3, 3, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 6.2.7

НОК $x^{\frac{1}{3}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x^{\frac{1}{3}}$

Этап 6.2.8

НОК $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ представляет собой произведение числовой части $3$ и переменной части.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 6.3

Каждый член в $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ умножим на $3 x^{\frac{1}{3}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим каждый член $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ на $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 6.3.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 6.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$5 x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 6.3.2.1.3

Умножим $x^{\frac{2}{3}}$ на $x^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.3.1

Перенесем $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 6.3.2.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 6.3.2.1.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 x^{\frac{1 + 2}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 6.3.2.1.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$5 x^{\frac{3}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 6.3.2.1.3.5

Разделим $3$ на $3$ .

$5 x^{1} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 6.3.2.1.4

Упростим $5 x^{1}$ .

$5 x - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 6.3.2.1.5

Сократим общий множитель $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ в числитель.

$5 x + \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 6.3.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$5 x + \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 6.3.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$5 x - 2 = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим $0 (3 x^{\frac{1}{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$5 x - 2 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 6.3.3.1.2

Умножим $0$ на $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 x - 2 = 0$

Этап 6.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$5 x = 2$

Этап 6.4.2

Разделим каждый член $5 x = 2$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Разделим каждый член $5 x = 2$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Этап 6.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Этап 6.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{5 \sqrt[3]{x^{2}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 7.1.2

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{5 \sqrt[3]{x^{2}}}{3} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Этап 7.1.3

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{5 \sqrt[3]{x^{2}}}{3} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Этап 7.2

Зададим знаменатель в $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Этап 7.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Упростим ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.4

Упростим.

$27 x = 0^{3}$

Этап 7.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$27 x = 0$

Этап 7.3.3

Разделим каждый член $27 x = 0$ на $27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Разделим каждый член $27 x = 0$ на $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 7.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 7.3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Этап 7.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.3.1

Разделим $0$ на $27$ .

$x = 0$

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{2}{5}, 0$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = \frac{2}{5}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{10}{9 {(\frac{2}{5})}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Применим правило умножения к $\frac{2}{5}$ .

$\frac{10}{9 \frac{2^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 10.1.2

Объединим $9$ и $\frac{2^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{10}{\frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 10.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$10 \frac{5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 10.1.4

Объединим $10$ и $\frac{5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 10.1.5

Применим правило умножения к $\frac{2}{5}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Этап 10.1.6

Объединим $9$ и $\frac{2^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{\frac{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Этап 10.1.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + 2 \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

Этап 10.1.8

Объединим $2$ и $\frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

Этап 10.1.9

Перенесем $2^{1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot 2^{- 1}}$

Этап 10.1.10

Умножим $2^{\frac{4}{3}}$ на $2^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.10.1

Перенесем $2^{- 1}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot (2^{- 1} \cdot 2^{\frac{4}{3}})}$

Этап 10.1.10.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{- 1 + \frac{4}{3}}}$

Этап 10.1.10.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}}}$

Этап 10.1.10.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}}}$

Этап 10.1.10.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}}}$

Этап 10.1.10.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.10.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{- 3 + 4}{3}}}$

Этап 10.1.10.6.2

Добавим $- 3$ и $4$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}}$

Этап 10.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}} + 5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}}$

Этап 11

$x = \frac{2}{5}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{2}{5}$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = \frac{2}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = {(\frac{2}{5})}^{\frac{2}{3}} ((\frac{2}{5}) - 1)$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Применим правило умножения к $\frac{2}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot ((\frac{2}{5}) - 1)$

Этап 12.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})$

Этап 12.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})$

Этап 12.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{2 - 1 \cdot 5}{5}$

Этап 12.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{2 - 5}{5}$

Этап 12.2.5.2

Вычтем $5$ из $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{- 3}{5}$

Этап 12.2.6

Объединим.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot - 3}{5^{\frac{2}{3}} \cdot 5}$

Этап 12.2.7

Умножим $5^{\frac{2}{3}}$ на $5$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.7.1

Умножим $5^{\frac{2}{3}}$ на $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.7.1.1

Возведем $5$ в степень $1$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot - 3}{5^{\frac{2}{3}} \cdot 5}$

Этап 12.2.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot - 3}{5^{\frac{2}{3} + 1}}$

Этап 12.2.7.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot - 3}{5^{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}}}$

Этап 12.2.7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot - 3}{5^{\frac{2 + 3}{3}}}$

Этап 12.2.7.4

Добавим $2$ и $3$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot - 3}{5^{\frac{5}{3}}}$

Этап 12.2.8

Перенесем $- 3$ влево от $2^{\frac{2}{3}}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$

Этап 12.2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{2}{5}) = - \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$

Этап 12.2.10

Окончательный ответ: $- \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{10}{9 {(0)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\frac{10}{9 {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 14.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10}{9 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 14.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10}{9 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 14.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{10}{9 \cdot 0^{1}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 14.3

Найдем экспоненту.

$\frac{10}{9 \cdot 0} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 14.4

Умножим $9$ на $0$ .

$\frac{10}{0} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 14.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 15

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}, \infty)$

Этап 15.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{5 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.2.2

Окончательный ответ: $\frac{5 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{5 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.3

Подставим любое число такое, что $0.2$ , из интервала $(0, \frac{2}{5})$ в первую производную $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.2$ .

$f' (0.2) = \frac{5 {(0.2)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(0.2)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.1.1

Возведем $0.2$ в степень $\frac{2}{3}$ .

$f' (0.2) = \frac{5 \cdot 0.34199518}{3} - \frac{2}{3 {(0.2)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.3.2.1.2

Умножим $5$ на $0.34199518$ .

$f' (0.2) = \frac{1.70997594}{3} - \frac{2}{3 {(0.2)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.3.2.1.3

Разделим $1.70997594$ на $3$ .

$f' (0.2) = 0.56999198 - \frac{2}{3 {(0.2)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.3.2.1.4

Возведем $0.2$ в степень $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.2) = 0.56999198 - \frac{2}{3 \cdot 0.58480354}$

Этап 15.3.2.1.5

Умножим $3$ на $0.58480354$ .

$f' (0.2) = 0.56999198 - \frac{2}{1.75441064}$

Этап 15.3.2.1.6

Разделим $2$ на $1.75441064$ .

$f' (0.2) = 0.56999198 - 1 \cdot 1.13998396$

Этап 15.3.2.1.7

Умножим $- 1$ на $1.13998396$ .

$f' (0.2) = 0.56999198 - 1.13998396$

Этап 15.3.2.2

Вычтем $1.13998396$ из $0.56999198$ .

$f' (0.2) = - 0.56999198$

Этап 15.3.2.3

Окончательный ответ: $- 0.56999198$ .

$- 0.56999198$

Этап 15.4

Подставим любое число такое, что $3$ , из интервала $(\frac{2}{5}, \infty)$ в первую производную $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = \frac{5 {(3)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.1.1

Перенесем ${(3)}^{\frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f' (3) = \frac{5}{3 \cdot 3^{- \frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.4.2.1.2

Умножим $3$ на $3^{- \frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.1.2.1

Умножим $3$ на $3^{- \frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.1.2.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$f' (3) = \frac{5}{3 \cdot 3^{- \frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.4.2.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (3) = \frac{5}{3^{1 - \frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.4.2.1.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.4.2.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{3 - 2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.4.2.1.2.4

Вычтем $2$ из $3$ .

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.4.2.1.3

Умножим $3$ на ${(3)}^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.1.3.1

Умножим $3$ на ${(3)}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.1.3.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 15.4.2.1.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3^{1 + \frac{1}{3}}}$

Этап 15.4.2.1.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

Этап 15.4.2.1.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{3 + 1}{3}}}$

Этап 15.4.2.1.3.4

Добавим $3$ и $1$ .

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 15.4.2.2

Чтобы записать $\frac{5}{3^{\frac{1}{3}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{3}{3}}}$ .

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{3}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 15.4.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3^{\frac{4}{3}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.3.1

Умножим $\frac{5}{3^{\frac{1}{3}}}$ на $\frac{3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{3}{3}}}$ .

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 15.4.2.3.2

Умножим $3^{\frac{1}{3}}$ на $3^{\frac{3}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.3.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 15.4.2.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{1 + 3}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 15.4.2.3.2.3

Добавим $1$ и $3$ .

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 15.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3^{\frac{3}{3}} - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 15.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.5.1

Разделим $3$ на $3$ .

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3 - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 15.4.2.5.2

Возведем $3$ в степень $1$ .

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3 - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 15.4.2.5.3

Умножим $5$ на $3$ .

$f' (3) = \frac{15 - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 15.4.2.5.4

Вычтем $2$ из $15$ .

$f' (3) = \frac{13}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 15.4.2.6

Окончательный ответ: $\frac{13}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{13}{3^{\frac{4}{3}}}$

Этап 15.5

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный максимум.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 15.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = \frac{2}{5}$ , $x = \frac{2}{5}$ — локальный минимум.

$x = \frac{2}{5}$ — локальный минимум

Этап 15.7

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{\frac{2}{3}} (x - 1)$ .

$x = 0$ — локальный максимум

$x = \frac{2}{5}$ — локальный минимум

$x = 0$ — локальный максимум

$x = \frac{2}{5}$ — локальный минимум

Этап 16