Математический анализ Примеры

$y = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Этап 1

Запишем $y = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ в виде функции.

$f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{2} - 5)}^{4}] + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{2} - 5$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 5]) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 5]) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2} - 5$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 5]) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $\frac{x}{2} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{1}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$x (\frac{4}{2} {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.6.3

Объединим $\frac{4}{2}$ и ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$x \frac{4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.6.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 (1)} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.6.4.2.2

Сократим общий множитель.

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 \cdot 1} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.6.4.2.3

Перепишем это выражение.

$x \frac{2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{1} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.6.4.2.4

Разделим $2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ на $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \cdot 1$

Этап 2.3.8

Умножим ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ на $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ из $x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Изменим порядок $x$ и $2$ .

$2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Этап 2.4.1.2

Вынесем множитель ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ из $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Этап 2.4.1.3

Вынесем множитель ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ из ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$

Этап 2.4.1.4

Вынесем множитель ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ из ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 5)$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Чтобы записать $2 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Этап 2.4.2.2

Объединим $2 x$ и $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Этап 2.4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 5)$

Этап 2.4.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 5)$

Этап 2.4.2.5

Добавим $4 x$ и $x$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2} - 5) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $\frac{5 x}{2} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Этап 3.2.2

Поскольку $\frac{5}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5 x}{2}$ по $x$ равна $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Этап 3.2.4

Умножим $\frac{5}{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Этап 3.2.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + 0) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Этап 3.2.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Добавим $\frac{5}{2}$ и $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2}) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Этап 3.2.6.2

Объединим ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ и $\frac{5}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \cdot 5}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Этап 3.2.6.3

Перенесем $5$ влево от ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем $3$ влево от $\frac{5 x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)$

Этап 3.4.2

По правилу суммы производная $\frac{x}{2} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Этап 3.4.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Этап 3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

Этап 3.4.5

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))$

Этап 3.4.6

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Этап 3.4.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2})$

Этап 3.4.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})$

Этап 3.4.7.3

Объединим ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ и $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \cdot 3}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

Этап 3.4.7.4

Перенесем $3$ влево от ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

Этап 3.5

Чтобы записать $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.6

Объединим $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

Этап 3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

Этап 3.8

Объединим $2$ и $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Этап 3.9

Умножим $3$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Этап 3.10

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Вынесем множитель $2$ из $6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Этап 3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 (1)} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Этап 3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 \cdot 1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Этап 3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Этап 3.10.2.4

Разделим $3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Этап 3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1

Вынесем множитель ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ из $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1.1

Вынесем множитель ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ из $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Этап 3.11.1.1.2

Вынесем множитель ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ из $3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Этап 3.11.1.1.3

Вынесем множитель ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ из ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5) + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Этап 3.11.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2}) + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Этап 3.11.1.3

Объединим $5$ и $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Этап 3.11.1.4

Умножим $5$ на $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Этап 3.11.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2}) + 3 \cdot - 5)}{2}$

Этап 3.11.1.6

Умножим $3 \frac{5 x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.6.1

Объединим $3$ и $\frac{5 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{3 (5 x)}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

Этап 3.11.1.6.2

Умножим $5$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

Этап 3.11.1.7

Умножим $3$ на $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} - 15)}{2}$

Этап 3.11.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 25 - 15)}{2}$

Этап 3.11.1.9

Вычтем $15$ из $- 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Этап 3.11.1.10

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Этап 3.11.1.11

Объединим $- 5$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Этап 3.11.1.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Этап 3.11.1.13

Умножим $- 5$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Этап 3.11.1.14

Добавим $5 x$ и $15 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{20 x}{2} - 40)}{2}$

Этап 3.11.1.15

Сократим общий множитель $20$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.15.1

Вынесем множитель $2$ из $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2} - 40)}{2}$

Этап 3.11.1.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.15.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 (1)} - 40)}{2}$

Этап 3.11.1.15.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 \cdot 1} - 40)}{2}$

Этап 3.11.1.15.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{10 x}{1} - 40)}{2}$

Этап 3.11.1.15.2.4

Разделим $10 x$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (10 x - 40)}{2}$

Этап 3.11.1.16

Применим правило умножения к $\frac{x - 10}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x - 40)}{2}$

Этап 3.11.1.17

Вынесем множитель $10$ из $10 x - 40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.17.1

Вынесем множитель $10$ из $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x) - 40)}{2}$

Этап 3.11.1.17.2

Вынесем множитель $10$ из $- 40$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x + 10 \cdot - 4)}{2}$

Этап 3.11.1.17.3

Вынесем множитель $10$ из $10 x + 10 \cdot - 4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x - 4))}{2}$

Этап 3.11.1.18

Объединим $\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}}$ и $10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{2^{2}} \cdot (x - 4)}{2}$

Этап 3.11.1.19

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

Этап 3.11.1.20

Сократим общий множитель $10$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.20.1

Вынесем множитель $2$ из ${(x - 10)}^{2} \cdot 10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

Этап 3.11.1.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.20.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 (2)} \cdot (x - 4)}{2}$

Этап 3.11.1.20.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 \cdot 2} \cdot (x - 4)}{2}$

Этап 3.11.1.20.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 5}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

Этап 3.11.1.21

Перенесем $5$ влево от ${(x - 10)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

Этап 3.11.2

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2})}{2}$

Этап 3.11.3

Вынесем множитель $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ из $\frac{(x - 4) \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$

Этап 3.11.4

Умножим $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.1

Умножим $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ на $\frac{x - 4}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{2 \cdot 2}$

Этап 3.11.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5) = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{4}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{2} - 5$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = x (4 u^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2} - 5$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

По правилу суммы производная $\frac{x}{2} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.3.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.3.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.3.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.3.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.6.1

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2})) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.3.6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f' (x) = x (\frac{4}{2} \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.3.6.3

Объединим $\frac{4}{2}$ и ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = x (\frac{4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.3.6.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.6.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.3.6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.6.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 (1)}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.3.6.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 \cdot 1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.3.6.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = x (\frac{2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.3.6.4.2.4

Разделим $2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ на $1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 5.1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \cdot 1$

Этап 5.1.3.8

Умножим ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ на $1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Этап 5.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Вынесем множитель ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ из $x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1.1

Изменим порядок $x$ и $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Этап 5.1.4.1.2

Вынесем множитель ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ из $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Этап 5.1.4.1.3

Вынесем множитель ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ из ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$

Этап 5.1.4.1.4

Вынесем множитель ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ из ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 5)$

Этап 5.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1

Чтобы записать $2 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Этап 5.1.4.2.2

Объединим $2 x$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Этап 5.1.4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 5)$

Этап 5.1.4.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 5)$

Этап 5.1.4.2.5

Добавим $4 x$ и $x$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5) = 0$

Этап 6.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} = 0$

$\frac{5 x}{2} - 5 = 0$

Этап 6.3

Приравняем ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Приравняем ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ к $0$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} = 0$

Этап 6.3.2

Решим ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Приравняем $\frac{x}{2} - 5$ к $0$ .

$\frac{x}{2} - 5 = 0$

Этап 6.3.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$\frac{x}{2} = 5$

Этап 6.3.2.2.2

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 5$

Этап 6.3.2.2.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 5$

Этап 6.3.2.2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \cdot 5$

Этап 6.3.2.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.3.2.1

Умножим $2$ на $5$ .

$x = 10$

Этап 6.4

Приравняем $\frac{5 x}{2} - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $\frac{5 x}{2} - 5$ к $0$ .

$\frac{5 x}{2} - 5 = 0$

Этап 6.4.2

Решим $\frac{5 x}{2} - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$\frac{5 x}{2} = 5$

Этап 6.4.2.2

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2} = \frac{2}{5} \cdot 5$

Этап 6.4.2.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1.1

Упростим $\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2} = \frac{2}{5} \cdot 5$

Этап 6.4.2.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{2}{5} \cdot 5$

Этап 6.4.2.3.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$\frac{1}{5} (5 (x)) = \frac{2}{5} \cdot 5$

Этап 6.4.2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{2}{5} \cdot 5$

Этап 6.4.2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2}{5} \cdot 5$

Этап 6.4.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2}{5} \cdot 5$

Этап 6.4.2.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2$

Этап 6.5

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5) = 0$ верно.

$x = 10, 2$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 10, 2$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 10$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{5 {((10) - 10)}^{2} ((10) - 4)}{4}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель $(10) - 4$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Вынесем множитель $2$ из $5 {((10) - 10)}^{2} ((10) - 4)$ .

$\frac{2 (5 {((10) - 10)}^{2} (5 - 2))}{4}$

Этап 10.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (5 {((10) - 10)}^{2} (5 - 2))}{2 (2)}$

Этап 10.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (5 {((10) - 10)}^{2} (5 - 2))}{2 \cdot 2}$

Этап 10.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 {((10) - 10)}^{2} (5 - 2)}{2}$

Этап 10.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $10$ из $10$ .

$\frac{5 \cdot 0^{2} (5 - 2)}{2}$

Этап 10.2.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$\frac{5 \cdot 0^{2} \cdot 3}{2}$

Этап 10.2.3

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{15 \cdot 0^{2}}{2}$

Этап 10.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{15 \cdot 0}{2}$

Этап 10.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $15$ на $0$ .

$\frac{0}{2}$

Этап 10.3.2

Разделим $0$ на $2$ .

$0$

Этап 11

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 2) \cup (2, 10) \cup (10, \infty)$

Этап 11.2

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \infty, 2)$ в первую производную ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = {(\frac{0}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 5)$

Этап 11.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Разделим $0$ на $2$ .

$f' (0) = {(0 - 5)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 5)$

Этап 11.2.2.2

Вычтем $5$ из $0$ .

$f' (0) = {(- 5)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 5)$

Этап 11.2.2.3

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$f' (0) = - 125 (\frac{5 (0)}{2} - 5)$

Этап 11.2.2.4

Умножим $5$ на $0$ .

$f' (0) = - 125 (\frac{0}{2} - 5)$

Этап 11.2.2.5

Разделим $0$ на $2$ .

$f' (0) = - 125 (0 - 5)$

Этап 11.2.2.6

Вычтем $5$ из $0$ .

$f' (0) = - 125 \cdot - 5$

Этап 11.2.2.7

Умножим $- 125$ на $- 5$ .

$f' (0) = 625$

Этап 11.2.2.8

Окончательный ответ: $625$ .

$625$

Этап 11.3

Подставим любое число такое, что $6$ , из интервала $(2, 10)$ в первую производную ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f' (6) = {(\frac{6}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 (6)}{2} - 5)$

Этап 11.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Разделим $6$ на $2$ .

$f' (6) = {(3 - 5)}^{3} (\frac{5 (6)}{2} - 5)$

Этап 11.3.2.2

Вычтем $5$ из $3$ .

$f' (6) = {(- 2)}^{3} (\frac{5 (6)}{2} - 5)$

Этап 11.3.2.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f' (6) = - 8 (\frac{5 (6)}{2} - 5)$

Этап 11.3.2.4

Умножим $5$ на $6$ .

$f' (6) = - 8 (\frac{30}{2} - 5)$

Этап 11.3.2.5

Разделим $30$ на $2$ .

$f' (6) = - 8 (15 - 5)$

Этап 11.3.2.6

Вычтем $5$ из $15$ .

$f' (6) = - 8 \cdot 10$

Этап 11.3.2.7

Умножим $- 8$ на $10$ .

$f' (6) = - 80$

Этап 11.3.2.8

Окончательный ответ: $- 80$ .

$- 80$

Этап 11.4

Подставим любое число такое, что $12$ , из интервала $(10, \infty)$ в первую производную ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $12$ .

$f' (12) = {(\frac{12}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 (12)}{2} - 5)$

Этап 11.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1

Разделим $12$ на $2$ .

$f' (12) = {(6 - 5)}^{3} (\frac{5 (12)}{2} - 5)$

Этап 11.4.2.2

Вычтем $5$ из $6$ .

$f' (12) = 1^{3} (\frac{5 (12)}{2} - 5)$

Этап 11.4.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (12) = 1 (\frac{5 (12)}{2} - 5)$

Этап 11.4.2.4

Умножим $\frac{5 (12)}{2} - 5$ на $1$ .

$f' (12) = \frac{5 (12)}{2} - 5$

Этап 11.4.2.5

Умножим $5$ на $12$ .

$f' (12) = \frac{60}{2} - 5$

Этап 11.4.2.6

Разделим $60$ на $2$ .

$f' (12) = 30 - 5$

Этап 11.4.2.7

Вычтем $5$ из $30$ .

$f' (12) = 25$

Этап 11.4.2.8

Окончательный ответ: $25$ .

$25$

Этап 11.5

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 2$ , $x = 2$ — локальный максимум.

$x = 2$ — локальный максимум

Этап 11.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 10$ , $x = 10$ — локальный минимум.

$x = 10$ — локальный минимум

Этап 11.7

Это локальные экстремумы $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$x = 2$ — локальный максимум

$x = 10$ — локальный минимум

$x = 2$ — локальный максимум

$x = 10$ — локальный минимум

Этап 12