Математический анализ Примеры

$\frac{x^{3}}{3} - 9 x$

Этап 1

Запишем $\frac{x^{3}}{3} - 9 x$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 9 x$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{x^{3}}{3} - 9 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{3}}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Этап 2.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Этап 2.2.4

Объединим $\frac{3}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Этап 2.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Этап 2.2.5.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} - 9 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $- 9$ на $1$ .

$x^{2} - 9$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 9)$

Этап 3.3

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 0$

Этап 3.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 x$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$x^{2} - 9 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

По правилу суммы производная $\frac{x^{3}}{3} - 9 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Этап 5.1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Этап 5.1.2.4

Объединим $\frac{3}{3}$ и $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Этап 5.1.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Этап 5.1.2.5.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} - 9 \cdot 1$

Этап 5.1.3.3

Умножим $- 9$ на $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 9$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{2} - 9$ .

$x^{2} - 9$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{2} - 9 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{2} - 9 = 0$

Этап 6.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 9$

Этап 6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Этап 6.4

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 6.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

Этап 6.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

Этап 6.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

Этап 6.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 3, - 3$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 3$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 (3)$

Этап 10

Умножим $2$ на $3$ .

$6$

Этап 11

$x = 3$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 3$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \frac{{(3)}^{3}}{3} - 9 \cdot 3$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Сократим общий множитель ${(3)}^{3}$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из ${(3)}^{3}$ .

$f (3) = \frac{3 \cdot 3^{2}}{3} - 9 \cdot 3$

Этап 12.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (3) = \frac{3 \cdot 3^{2}}{3 (1)} - 9 \cdot 3$

Этап 12.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (3) = \frac{3 \cdot 3^{2}}{3 \cdot 1} - 9 \cdot 3$

Этап 12.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (3) = \frac{3^{2}}{1} - 9 \cdot 3$

Этап 12.2.1.1.2.4

Разделим $3^{2}$ на $1$ .

$f (3) = 3^{2} - 9 \cdot 3$

Этап 12.2.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = 9 - 9 \cdot 3$

Этап 12.2.1.3

Умножим $- 9$ на $3$ .

$f (3) = 9 - 27$

Этап 12.2.2

Вычтем $27$ из $9$ .

$f (3) = - 18$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $- 18$ .

$y = - 18$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = - 3$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 (- 3)$

Этап 14

Умножим $2$ на $- 3$ .

$- 6$

Этап 15

$x = - 3$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 3$ — локальный максимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{3}}{3} - 9 \cdot - 3$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Сократим общий множитель ${(- 3)}^{3}$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1.1

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 1 \cdot 3)}^{3}}{3} - 9 \cdot - 3$

Этап 16.2.1.1.2

Применим правило умножения к $- 1 (3)$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 1)}^{3} \cdot 3^{3}}{3} - 9 \cdot - 3$

Этап 16.2.1.1.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 3) = \frac{- 1 \cdot 3^{3}}{3} - 9 \cdot - 3$

Этап 16.2.1.1.4

Вынесем множитель $3$ из $- 1 \cdot 3^{3}$ .

$f (- 3) = \frac{3 (- 1 \cdot 3^{2})}{3} - 9 \cdot - 3$

Этап 16.2.1.1.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (- 3) = \frac{3 (- 1 \cdot 3^{2})}{3 (1)} - 9 \cdot - 3$

Этап 16.2.1.1.5.2

Сократим общий множитель.

$f (- 3) = \frac{3 (- 1 \cdot 3^{2})}{3 \cdot 1} - 9 \cdot - 3$

Этап 16.2.1.1.5.3

Перепишем это выражение.

$f (- 3) = \frac{- 1 \cdot 3^{2}}{1} - 9 \cdot - 3$

Этап 16.2.1.1.5.4

Разделим $- 1 \cdot 3^{2}$ на $1$ .

$f (- 3) = - 1 \cdot 3^{2} - 9 \cdot - 3$

Этап 16.2.1.2

Перепишем $- 1 \cdot 3^{2}$ в виде $- 3^{2}$ .

$f (- 3) = - 3^{2} - 9 \cdot - 3$

Этап 16.2.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- 3) = - 1 \cdot 9 - 9 \cdot - 3$

Этап 16.2.1.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f (- 3) = - 9 - 9 \cdot - 3$

Этап 16.2.1.5

Умножим $- 9$ на $- 3$ .

$f (- 3) = - 9 + 27$

Этап 16.2.2

Добавим $- 9$ и $27$ .

$f (- 3) = 18$

Этап 16.2.3

Окончательный ответ: $18$ .

$y = 18$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 9 x$ .

$(3, - 18)$ — локальный минимум

$(- 3, 18)$ — локальный максимум

Этап 18