Математический анализ Примеры

$4 x y - x^{2} y - x y^{2}$

Этап 1

Запишем $4 x y - x^{2} y - x y^{2}$ в виде функции.

$f (x) = 4 x y - x^{2} y - x y^{2}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x y - x^{2} y - x y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4 y$ является константой относительно $x$ , производная $4 x y$ по $x$ равна $4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 y + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2} y$ по $x$ равна $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 y - y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 y - y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 y - 2 y x + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- x y^{2}$ по $x$ равна $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 y - 2 y x - y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 y - 2 y x - y^{2} \cdot 1$

Этап 2.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 y - 2 y x - y^{2}$

Этап 2.5

Изменим порядок членов.

$- y^{2} - 2 x y + 4 y$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $- y^{2} - 2 x y + 4 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x y) + \frac{d}{d x} (4 y)$

Этап 3.1.2

Поскольку $- y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 x y) + \frac{d}{d x} (4 y)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 2 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x y$ по $x$ равна $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 y \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4 y)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4 y)$

Этап 3.2.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 y + \frac{d}{d x} (4 y)$

Этап 3.3

Поскольку $4 y$ является константой относительно $x$ , производная $4 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 - 2 y + 0$

Этап 3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $2 y$ из $0$ .

$f'' (x) = - 2 y + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $- 2 y$ и $0$ .

$f'' (x) = - 2 y$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- y^{2} - 2 x y + 4 y = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

По правилу суммы производная $4 x y - x^{2} y - x y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x y) + \frac{d}{d x} (- x^{2} y) + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $4 y$ является константой относительно $x$ , производная $4 x y$ по $x$ равна $4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 y \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2} y) + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 4 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- x^{2} y) + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Этап 5.1.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f' (x) = 4 y + \frac{d}{d x} (- x^{2} y) + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2} y$ по $x$ равна $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 y - y \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 4 y - y (2 x) + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Этап 5.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = 4 y - 2 y x + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Этап 5.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $- y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- x y^{2}$ по $x$ равна $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 y - 2 y x - y^{2} \frac{d}{d x} x$

Этап 5.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 4 y - 2 y x - y^{2} \cdot 1$

Этап 5.1.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = 4 y - 2 y x - y^{2}$

Этап 5.1.5

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - y^{2} - 2 x y + 4 y$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- y^{2} - 2 x y + 4 y$ .

$- y^{2} - 2 x y + 4 y$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- y^{2} - 2 x y + 4 y = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- y^{2} - 2 x y + 4 y = 0$

Этап 6.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $y^{2}$ к обеим частям уравнения.

$- 2 x y + 4 y = y^{2}$

Этап 6.2.2

Вычтем $4 y$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x y = y^{2} - 4 y$

Этап 6.3

Разделим каждый член $- 2 x y = y^{2} - 4 y$ на $- 2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $- 2 x y = y^{2} - 4 y$ на $- 2 y$ .

$\frac{- 2 x y}{- 2 y} = \frac{y^{2}}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x y}{- 2 y} = \frac{y^{2}}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Этап 6.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y}{y} = \frac{y^{2}}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Этап 6.3.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{y} = \frac{y^{2}}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Этап 6.3.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$x = \frac{y \cdot y}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Этап 6.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y$ .

$x = \frac{y \cdot y}{y \cdot - 2} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Этап 6.3.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{y \cdot y}{y \cdot - 2} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Этап 6.3.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{y}{- 2} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Этап 6.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Этап 6.3.3.1.3

Сократим общий множитель $- 4$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.3.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 4 y$ .

$x = - \frac{y}{2} + \frac{- 2 (2 y)}{- 2 y}$

Этап 6.3.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 y$ .

$x = - \frac{y}{2} + \frac{- 2 (2 y)}{- 2 (y)}$

Этап 6.3.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{- 2 (2 y)}{- 2 y}$

Этап 6.3.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{2 y}{y}$

Этап 6.3.3.1.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{2 y}{y}$

Этап 6.3.3.1.4.2

Разделим $2$ на $1$ .

$x = - \frac{y}{2} + 2$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{y}{2} + 2$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = - \frac{y}{2} + 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 y$

Этап 10

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 11