Математический анализ Примеры

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Этап 1

Запишем $2 x - 1 - \frac{1}{x}$ в виде функции.

$f (x) = 2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x - 1 - \frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Этап 2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$2 + 0 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.4.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$2 + 0 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 + 0 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Этап 2.4.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 + 0 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Этап 2.4.6

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$2 + 0 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Этап 2.4.7

Умножим $\frac{1}{x}$ на $0$ .

$2 + 0 + x^{- 2} + 0$

Этап 2.4.8

Добавим $x^{- 2}$ и $0$ .

$2 + 0 + x^{- 2}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + 0 + \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.5.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2 + \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{x^{2}} + 2$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{x^{2}} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 3.2.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 3.2.4.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 3.2.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 3.2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 3.2.8

Вычтем $4$ из $1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} + 0$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{x^{3}} + 0$

Этап 3.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{x^{3}} + 0$

Этап 3.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}} + 0$

Этап 3.4.2.3

Добавим $- \frac{2}{x^{3}}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{1}{x^{2}} + 2 = 0$

Этап 5

Ввиду отсутствия значения $x$ , при котором первая производная равна $0$ , локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 6

Нет локальных экстремумов

Этап 7