Математический анализ Примеры

$12 x y - x^{3} - 6 y^{2}$

Этап 1

Запишем $12 x y - x^{3} - 6 y^{2}$ в виде функции.

$f (x) = 12 x y - x^{3} - 6 y^{2}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $12 x y - x^{3} - 6 y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $12 y$ является константой относительно $x$ , производная $12 x y$ по $x$ равна $12 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Этап 2.2.3

Умножим $12$ на $1$ .

$12 y + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 y - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$12 y - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$12 y - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Этап 2.4

Поскольку $- 6 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 y - 3 x^{2} + 0$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $12 y - 3 x^{2}$ и $0$ .

$12 y - 3 x^{2}$

Этап 2.5.2

Изменим порядок членов.

$- 3 x^{2} + 12 y$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- 3 x^{2} + 12 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 y)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 y)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 y)$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (12 y)$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $12 y$ является константой относительно $x$ , производная $12 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $- 6 x$ и $0$ .

$f'' (x) = - 6 x$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 3 x^{2} + 12 y = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

По правилу суммы производная $12 x y - x^{3} - 6 y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (12 x y) + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 y^{2})$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $12 y$ является константой относительно $x$ , производная $12 x y$ по $x$ равна $12 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 y \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 y^{2})$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 12 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 y^{2})$

Этап 5.1.2.3

Умножим $12$ на $1$ .

$f' (x) = 12 y + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 y^{2})$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 y - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 y^{2})$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 12 y - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 y^{2})$

Этап 5.1.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f' (x) = 12 y - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 y^{2})$

Этап 5.1.4

Поскольку $- 6 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 12 y - 3 x^{2} + 0$

Этап 5.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Добавим $12 y - 3 x^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = 12 y - 3 x^{2}$

Этап 5.1.5.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 y$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 x^{2} + 12 y$ .

$- 3 x^{2} + 12 y$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 x^{2} + 12 y = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 y = 0$

Этап 6.2

Вычтем $12 y$ из обеих частей уравнения.

$- 3 x^{2} = - 12 y$

Этап 6.3

Разделим каждый член $- 3 x^{2} = - 12 y$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $- 3 x^{2} = - 12 y$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 12 y}{- 3}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 12 y}{- 3}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 12 y}{- 3}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Сократим общий множитель $- 12$ и $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 12 y$ .

$x^{2} = \frac{- 3 (4 y)}{- 3}$

Этап 6.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3$ .

$x^{2} = \frac{- 3 (4 y)}{- 3 (1)}$

Этап 6.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{- 3 (4 y)}{- 3 \cdot 1}$

Этап 6.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} = \frac{4 y}{1}$

Этап 6.3.3.1.2.4

Разделим $4 y$ на $1$ .

$x^{2} = 4 y$

Этап 6.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4 y}$

Этап 6.5

Упростим $\pm \sqrt{4 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} y}$

Этап 6.5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 2 \sqrt{y}$

Этап 6.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 \sqrt{y}$

Этап 6.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 \sqrt{y}$

Этап 6.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 \sqrt{y}$

$x = - 2 \sqrt{y}$

$x = 2 \sqrt{y}$

$x = - 2 \sqrt{y}$

$x = 2 \sqrt{y}$

$x = - 2 \sqrt{y}$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 2 \sqrt{y}$

$x = - 2 \sqrt{y}$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 2 \sqrt{y}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 6 (2 \sqrt{y})$

Этап 10

Умножим $2$ на $- 6$ .

$- 12 \sqrt{y}$

Этап 11

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 12