Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{4 - x^{2}}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 4 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(4 - x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Умножим $4 - x^{2}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} - x \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

По правилу суммы производная $4 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} - x (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} - x \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} - x (- \frac{d}{d x} x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} + 1 x \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.7.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} + x \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} + x (2 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} + 2 (x \cdot x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} + 2 (x \cdot x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} + 2 x^{1 + 1}}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} + 2 x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.7

Добавим $- x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.8

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{2}}{{({(- x^{2} + 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(- x^{2} + 4)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.2.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.2.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (4)) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.2.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{2} (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.2.5.2

Перенесем $2$ влево от ${(- x^{2} + 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot ({(- x^{2} + 4)}^{2} x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = - x^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - (x^{2} + 4) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - (x^{2} + 4) (2 u \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - (x^{2} + 4) (2 (- x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (x^{2} + 4) ((- x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.4.2

По правилу суммы производная $- x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (x^{2} + 4) ((- x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.4.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (x^{2} + 4) ((- x^{2} + 4) (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (x^{2} + 4) ((- x^{2} + 4) (- (2 x) + \frac{d}{d x} (4)))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.4.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (x^{2} + 4) ((- x^{2} + 4) (- 2 x + \frac{d}{d x} (4)))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.4.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (x^{2} + 4) ((- x^{2} + 4) (- 2 x + 0))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.4.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.7.1

Добавим $- 2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (x^{2} + 4) ((- x^{2} + 4) (- 2 x))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.4.7.2

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x + 4 (x^{2} + 4) ((- x^{2} + 4) (x))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) ((- x^{2} + 4) (x))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.1

Перепишем ${(- x^{2} + 4)}^{2}$ в виде $(- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.2

Развернем $(- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} (- x^{2} + 4) + 4 (- x^{2} + 4)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2} + 4)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.3.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (1 x^{4} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.3.1.4

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.3.1.5

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} - 4 x^{2} + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.3.1.7

Умножим $4$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.3.2

Вычтем $4 x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} - 8 x^{2} + 16) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(2 x^{4} + 2 (- 8 x^{2}) + 2 \cdot 16) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.5.1

Умножим $- 8$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{(2 x^{4} - 16 x^{2} + 2 \cdot 16) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.5.2

Умножим $2$ на $16$ .

$f'' (x) = \frac{(2 x^{4} - 16 x^{2} + 32) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 x^{4} x - 16 x^{2} x + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.7.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.7.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{4}) - 16 x^{2} x + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.7.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.7.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{4}) - 16 x^{2} x + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.7.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{2 x^{1 + 4} - 16 x^{2} x + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.7.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{2} x + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.7.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.7.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 (x \cdot x^{2}) + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.7.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.7.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 (x \cdot x^{2}) + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.7.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{1 + 2} + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.7.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.8

Умножим $4$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + (4 x^{2} + 16) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.9

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.9.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + (4 x^{2} + 16) (- (x \cdot x^{2}) + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.9.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.9.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + (4 x^{2} + 16) (- (x \cdot x^{2}) + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + (4 x^{2} + 16) (- x^{1 + 2} + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.9.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + (4 x^{2} + 16) (- x^{3} + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.10

Развернем $(4 x^{2} + 16) (- x^{3} + 4 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + 4 x^{2} (- x^{3} + 4 x) + 16 (- x^{3} + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + 4 x^{2} (- x^{3}) + 4 x^{2} (4 x) + 16 (- x^{3} + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + 4 x^{2} (- x^{3}) + 4 x^{2} (4 x) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.11.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + 4 \cdot (- 1 x^{2} x^{3}) + 4 x^{2} (4 x) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.11.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.11.1.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + 4 \cdot (- 1 (x^{3} x^{2})) + 4 x^{2} (4 x) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.11.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + 4 \cdot (- 1 x^{3 + 2}) + 4 x^{2} (4 x) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.11.1.2.3

Добавим $3$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + 4 \cdot (- 1 x^{5}) + 4 x^{2} (4 x) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.11.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 4 x^{2} (4 x) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.11.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 4 \cdot (4 x^{2} x) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.11.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.11.1.5.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 4 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.11.1.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1.11.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 4 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.11.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 4 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.11.1.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 4 \cdot (4 x^{3}) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.11.1.6

Умножим $4$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 16 x^{3} + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.11.1.7

Умножим $- 1$ на $16$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 16 x^{3} - 16 x^{3} + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.11.1.8

Умножим $4$ на $16$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 16 x^{3} - 16 x^{3} + 64 x}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.11.2

Вычтем $16 x^{3}$ из $16 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 0 + 64 x}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.1.11.3

Добавим $- 4 x^{5}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 64 x}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.2

Вычтем $4 x^{5}$ из $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + 64 x}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.3.3

Добавим $32 x$ и $64 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 16 x^{3} + 96 x}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.4.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x^{5} - 16 x^{3} + 96 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.4.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (- x^{4}) - 16 x^{3} + 96 x}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 16 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (- 8 x^{2}) + 96 x}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $96 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (- 8 x^{2}) + 2 x (48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.1.4

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (- x^{4}) + 2 x (- 8 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (- x^{4} - 8 x^{2}) + 2 x (48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.1.5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (- x^{4} - 8 x^{2}) + 2 x (48)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (- x^{4} - 8 x^{2} + 48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (- {(x^{2})}^{2} - 8 x^{2} + 48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$f'' (x) = \frac{2 x (- u^{2} - 8 u + 48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.4.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 48 = - 48$ , а сумма — $b = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.4.4.1.1

Вынесем множитель $- 8$ из $- 8 u$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (- u^{2} - 8 u + 48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.4.1.2

Запишем $- 8$ как $4$ плюс $- 12$

$f'' (x) = \frac{2 x (- u^{2} + (4 - 12) u + 48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 x (- u^{2} + 4 u - 12 u + 48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.4.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f'' (x) = \frac{2 x ((- u^{2} + 4 u) - 12 u + 48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f'' (x) = \frac{2 x (u (- u + 4) + 12 (- u + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- u + 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((- u + 4) (u + 12))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((- x^{2} + 4) (x^{2} + 12))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.6

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((- x^{2} + 2^{2}) (x^{2} + 12))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.7

Изменим порядок $- x^{2}$ и $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((2^{2} - x^{2}) (x^{2} + 12))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.4.8

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 12)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 1.2.5.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 12)}{{(- x^{2} + 2^{2})}^{4}}$

Этап 1.2.5.5.2

Изменим порядок $- x^{2}$ и $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 12)}{{(2^{2} - x^{2})}^{4}}$

Этап 1.2.5.5.3

$f'' (x) = \frac{2 x (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 12)}{{((2 + x) (2 - x))}^{4}}$

Этап 1.2.5.5.4

Применим правило умножения к $(2 + x) (2 - x)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 12)}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}}$

Этап 1.2.5.6

Сократим общий множитель $2 + x$ и ${(2 + x)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.6.1

Вынесем множитель $2 + x$ из $2 x (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 12)$ .

$f'' (x) = \frac{(2 + x) ((2 x (2 - x)) (x^{2} + 12))}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}}$

Этап 1.2.5.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.6.2.1

Вынесем множитель $2 + x$ из ${(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(2 + x) ((2 x (2 - x)) (x^{2} + 12))}{(2 + x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4})}$

Этап 1.2.5.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(2 + x) ((2 x (2 - x)) (x^{2} + 12))}{(2 + x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4})}$

Этап 1.2.5.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{(2 x (2 - x)) (x^{2} + 12)}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}}$

Этап 1.2.5.7

Сократим общий множитель $2 - x$ и ${(2 - x)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.7.1

Вынесем множитель $2 - x$ из $(2 x (2 - x)) (x^{2} + 12)$ .

$f'' (x) = \frac{(2 - x) ((2 x) (x^{2} + 12))}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}}$

Этап 1.2.5.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.7.2.1

Вынесем множитель $2 - x$ из ${(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(2 - x) ((2 x) (x^{2} + 12))}{(2 - x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3})}$

Этап 1.2.5.7.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(2 - x) ((2 x) (x^{2} + 12))}{(2 - x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3})}$

Этап 1.2.5.7.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{(2 x) (x^{2} + 12)}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 12)}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 x (x^{2} + 12)}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 12)}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 x (x^{2} + 12)}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 12)}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 x (x^{2} + 12) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 12 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.3.3

Приравняем $x^{2} + 12$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $x^{2} + 12$ к $0$ .

$x^{2} + 12 = 0$

Этап 2.3.3.2

Решим $x^{2} + 12 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 12$

Этап 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 12}$

Этап 2.3.3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.3.1

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (12)}$

Этап 2.3.3.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$

Этап 2.3.3.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{12}$

Этап 2.3.3.2.3.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}$

Этап 2.3.3.2.3.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Этап 2.3.3.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{3})$

Этап 2.3.3.2.3.6

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{3}$

Этап 2.3.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i \sqrt{3}$

Этап 2.3.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i \sqrt{3}$

Этап 2.3.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i \sqrt{3}, - 2 i \sqrt{3}$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (x^{2} + 12) = 0$ верно.

$x = 0, 2 i \sqrt{3}, - 2 i \sqrt{3}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ в $f (x) = \frac{x}{4 - x^{2}}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{0}{4 - {(0)}^{2}}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{0}{4 - 0}$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = \frac{0}{4 + 0}$

Этап 3.1.2.1.3

Добавим $4$ и $0$ .

$f (0) = \frac{0}{4}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $0$ на $4$ .

$f (0) = 0$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.2

Подставляя $0$ в $f (x) = \frac{x}{4 - x^{2}}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{2 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} + 12)}{{(2 - 0.1)}^{3} {(2 - (- 0.1))}^{3}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Избавимся от скобок.

$f'' (- 0.1) = \frac{2 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} + 12)}{{(2 - 0.1)}^{3} {(2 - (- 0.1))}^{3}}$

Этап 5.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $2$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.2 ({(- 0.1)}^{2} + 12)}{{(2 - 0.1)}^{3} {(2 - (- 0.1))}^{3}}$

Этап 5.2.2.2

Умножим $- 0.2$ на ${(- 0.1)}^{2} + 12$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.402}{{(2 - 0.1)}^{3} {(2 - (- 0.1))}^{3}}$

Этап 5.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вычтем $0.1$ из $2$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.402}{{1.9}^{3} {(2 - (- 0.1))}^{3}}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $- 1$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.402}{{1.9}^{3} {(2 + 0.1)}^{3}}$

Этап 5.2.3.3

Добавим $2$ и $0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.402}{{1.9}^{3} \cdot {2.1}^{3}}$

Этап 5.2.3.4

Возведем $1.9$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.402}{6.859 \cdot {2.1}^{3}}$

Этап 5.2.3.5

Возведем $2.1$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.402}{6.859 \cdot 9.261}$

Этап 5.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $6.859$ на $9.261$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.402}{63.521199}$

Этап 5.2.4.2

Разделим $- 2.402$ на $63.521199$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.03781414$

Этап 5.2.5

Окончательный ответ: $- 0.03781414$ .

$- 0.03781414$

Этап 5.3

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $- 0.03781414$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{2 (0.1) ({(0.1)}^{2} + 12)}{{(2 + 0.1)}^{3} {(2 - (0.1))}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Избавимся от скобок.

$f'' (0.1) = \frac{2 (0.1) ({(0.1)}^{2} + 12)}{{(2 + 0.1)}^{3} {(2 - (0.1))}^{3}}$

Этап 6.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Умножим $2$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.2 ({0.1}^{2} + 12)}{{(2 + 0.1)}^{3} {(2 - (0.1))}^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Умножим $0.2$ на ${0.1}^{2} + 12$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.402}{{(2 + 0.1)}^{3} {(2 - (0.1))}^{3}}$

Этап 6.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Добавим $2$ и $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.402}{{2.1}^{3} {(2 - (0.1))}^{3}}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $- 1$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.402}{{2.1}^{3} {(2 - 0.1)}^{3}}$

Этап 6.2.3.3

Вычтем $0.1$ из $2$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.402}{{2.1}^{3} \cdot {1.9}^{3}}$

Этап 6.2.3.4

Возведем $2.1$ в степень $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.402}{9.261 \cdot {1.9}^{3}}$

Этап 6.2.3.5

Возведем $1.9$ в степень $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.402}{9.261 \cdot 6.859}$

Этап 6.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Умножим $9.261$ на $6.859$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.402}{63.521199}$

Этап 6.2.4.2

Разделим $2.402$ на $63.521199$ .

$f'' (0.1) = 0.03781414$

Этап 6.2.5

Окончательный ответ: $0.03781414$ .

$0.03781414$

Этап 6.3

При $0.1$ вторая производная имеет вид $0.03781414$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Этап 8