Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 \cos^{2} (x) - 10 \sin (x)$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $5 \cos^{2} (x) - 10 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 \cos^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 \cos^{2} (x)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$f' (x) = 5 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Этап 1.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 5 (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Этап 1.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$f' (x) = 5 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Этап 1.1.2.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 5 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Этап 1.1.2.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = 5 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Этап 1.1.2.5

Умножим $- 2$ на $5$ .

$f' (x) = - 10 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 \sin (x)$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f' (x) = - 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Этап 1.1.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \cos (x)$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $- 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x) \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 \cos (x) \sin (x)$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Этап 1.2.2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Этап 1.2.2.4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Этап 1.2.2.5

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Этап 1.2.2.6

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Этап 1.2.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 10 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Этап 1.2.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Этап 1.2.2.9

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Этап 1.2.2.10

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Этап 1.2.2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Этап 1.2.2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 \cos (x)$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 10 \frac{d}{d x} \cos (x)$

Этап 1.2.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 10 (- \sin (x))$

Этап 1.2.3.3

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 10 \sin (x)$

Этап 1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) - 10 (- \sin^{2} (x)) + 10 \sin (x)$

Этап 1.2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x)$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x)$ .

$- 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x)$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Этап 2.2

Заменим $- 10 \cos^{2} (x)$ на $- 10 (1 - \sin^{2} (x))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$- 10 (1 - \sin^{2} (x)) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Этап 2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 10 \cdot 1 - 10 (- \sin^{2} (x)) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Этап 2.3.2

Умножим $- 10$ на $1$ .

$- 10 - 10 (- \sin^{2} (x)) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$- 10 + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Этап 2.4

Добавим $10 \sin^{2} (x)$ и $10 \sin^{2} (x)$ .

$- 10 + 20 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Этап 2.5

Упорядочим многочлен.

$20 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) - 10 = 0$

Этап 2.6

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$20 {(u)}^{2} + 10 (u) - 10 = 0$

Этап 2.7

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем множитель $10$ из $20 u^{2} + 10 u - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Вынесем множитель $10$ из $20 u^{2}$ .

$10 (2 u^{2}) + 10 u - 10 = 0$

Этап 2.7.1.2

Вынесем множитель $10$ из $10 u$ .

$10 (2 u^{2}) + 10 u - 10 = 0$

Этап 2.7.1.3

Вынесем множитель $10$ из $- 10$ .

$10 (2 u^{2}) + 10 u + 10 (- 1) = 0$

Этап 2.7.1.4

Вынесем множитель $10$ из $10 (2 u^{2}) + 10 u$ .

$10 (2 u^{2} + u) + 10 (- 1) = 0$

Этап 2.7.1.5

Вынесем множитель $10$ из $10 (2 u^{2} + u) + 10 (- 1)$ .

$10 (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Этап 2.7.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.1.1

Умножим на $1$ .

$10 (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Этап 2.7.2.1.1.2

Запишем $1$ как $- 1$ плюс $2$

$10 (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Этап 2.7.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$10 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Этап 2.7.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$10 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Этап 2.7.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$10 (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Этап 2.7.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 1$ .

$10 ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Этап 2.7.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$10 (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Этап 2.8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Этап 2.9

Приравняем $2 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Приравняем $2 u - 1$ к $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Этап 2.9.2

Решим $2 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 u = 1$

Этап 2.9.2.2

Разделим каждый член $2 u = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.2.1

Разделим каждый член $2 u = 1$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.9.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.9.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Этап 2.10

Приравняем $u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 2.10.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 2.11

Окончательным решением являются все значения, при которых $10 (2 u - 1) (u + 1) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Этап 2.12

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Этап 2.13

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

Этап 2.14

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 2.14.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 2.14.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{6}$

Этап 2.14.4

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 2.14.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 2.14.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 2.14.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.4.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 2.14.4.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 2.14.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.14.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.14.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.14.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.14.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.15

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 2.15.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.2.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 2.15.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 2.15.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 2.15.4.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.15.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.15.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.15.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.15.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.15.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 2.15.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.15.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.15.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 2.15.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.6.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 2.15.6.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 2.15.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.15.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.16

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.17

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $\frac{π}{6}$ в $f (x) = 5 \cos^{2} (x) - 10 \sin (x)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Этап 3.1.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Этап 3.1.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Этап 3.1.2.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Этап 3.1.2.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Этап 3.1.2.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Этап 3.1.2.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Этап 3.1.2.1.3.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Этап 3.1.2.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3}{4}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Этап 3.1.2.1.5

Умножим $5 (\frac{3}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.5.1

Объединим $5$ и $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{5 \cdot 3}{4} - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Этап 3.1.2.1.5.2

Умножим $5$ на $3$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Этап 3.1.2.1.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} - 10 (\frac{1}{2})$

Этап 3.1.2.1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} + 2 (- 5) (\frac{1}{2})$

Этап 3.1.2.1.7.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} + 2 \cdot (- 5 (\frac{1}{2}))$

Этап 3.1.2.1.7.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} - 5$

Этап 3.1.2.2

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} - 5 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.1.2.3

Объединим $- 5$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} + \frac{- 5 \cdot 4}{4}$

Этап 3.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15 - 5 \cdot 4}{4}$

Этап 3.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Умножим $- 5$ на $4$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15 - 20}{4}$

Этап 3.1.2.5.2

Вычтем $20$ из $15$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{- 5}{4}$

Этап 3.1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{π}{6}) = - \frac{5}{4}$

Этап 3.1.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

Этап 3.2

Подставляя $\frac{π}{6}$ в $f (x) = 5 \cos^{2} (x) - 10 \sin (x)$ , найдем точку $(\frac{π}{6}, - \frac{5}{4})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{π}{6}, - \frac{5}{4})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{π}{6})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.42359877$ .

$f'' (0.42359877) = - 10 \cos^{2} (0.42359877) + 10 \sin^{2} (0.42359877) + 10 \sin (0.42359877)$

Этап 5.2

Окончательный ответ: $- 10 \cos^{2} (0.42359877) + 10 \sin^{2} (0.42359877) + 10 \sin (0.42359877)$ .

$- 10 \cos^{2} (0.42359877) + 10 \sin^{2} (0.42359877) + 10 \sin (0.42359877)$

Этап 5.3

При $0.42359877$ вторая производная имеет вид $- 2.51042168$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, \frac{π}{6})$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{π}{6})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(\frac{π}{6}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.62359877$ .

$f'' (0.62359877) = - 10 \cos^{2} (0.62359877) + 10 \sin^{2} (0.62359877) + 10 \sin (0.62359877)$

Этап 6.2

Окончательный ответ: $- 10 \cos^{2} (0.62359877) + 10 \sin^{2} (0.62359877) + 10 \sin (0.62359877)$ .

$- 10 \cos^{2} (0.62359877) + 10 \sin^{2} (0.62359877) + 10 \sin (0.62359877)$

Этап 6.3

При $0.62359877$ вторая производная имеет вид $2.65979756$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(\frac{π}{6}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{π}{6}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(\frac{π}{6}, - \frac{5}{4})$ .

$(\frac{π}{6}, - \frac{5}{4})$

Этап 8