Математический анализ Примеры

$5 \sin (2 x) + 3 > \frac{11}{2}$

Этап 1

Перенесем все члены без $\sin (2 x)$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$5 \sin (2 x) > \frac{11}{2} - 3$

Этап 1.2

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{11}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.3

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{11}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 \sin (2 x) > \frac{11 - 3 \cdot 2}{2}$

Этап 1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{11 - 6}{2}$

Этап 1.5.2

Вычтем $6$ из $11$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{5}{2}$

Этап 2

Разделим каждый член $5 \sin (2 x) > \frac{5}{2}$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $5 \sin (2 x) > \frac{5}{2}$ на $5$ .

$\frac{5 \sin (2 x)}{5} > \frac{\frac{5}{2}}{5}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \sin (2 x)}{5} > \frac{\frac{5}{2}}{5}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\sin (2 x)$ на $1$ .

$\sin (2 x) > \frac{\frac{5}{2}}{5}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (2 x) > \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\sin (2 x) > \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\sin (2 x) > \frac{1}{2}$

Этап 3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x > \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$2 x > \frac{π}{6}$

Этап 5

Разделим каждый член $2 x > \frac{π}{6}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $2 x > \frac{π}{6}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x > \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.3.2

Умножим $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $\frac{π}{6}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x > \frac{π}{6 \cdot 2}$

Этап 5.3.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$x > \frac{π}{12}$

Этап 6

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 7.1.2

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 7.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 7.1.4

Вычтем $π$ из $π \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 7.1.4.2

Вычтем $π$ из $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Этап 7.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{6}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Этап 7.2.3.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Этап 8

Найдем период $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 8.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 9

Период функции $\sin (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$

$\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$

$\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$5 \sin (2 (1)) + 3 > \frac{11}{2}$

Этап 11.1.3

Левая часть $7.54648713$ больше правой части $5.5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$5 \sin (2 (2)) + 3 > \frac{11}{2}$

Этап 11.2.3

Левая часть $- 0.78401247$ не больше правой части $5.5$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$5 \sin (2 (4)) + 3 > \frac{11}{2}$

Этап 11.3.3

Левая часть $7.94679123$ больше правой части $5.5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ Истина

$\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ Ложь

$\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ Истина

$\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ Истина

$\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ Ложь

$\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ Истина

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{π}{12} + π n < x < \frac{5 π}{12} + π n$ или $\frac{13 π}{12} + π n < x < \frac{17 π}{12} + π n$ , для любого целого числа $n$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(\frac{13 π}{12} + π n, \frac{17 π}{12} + π n) \cup (\frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n)$

Этап 14