Математический анализ Примеры

${(\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5}))}^{3}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем значение $\cos (\frac{3 π}{5})$ .

${(- 0.30901699 + i \sin (\frac{3 π}{5}))}^{3}$

Этап 1.2

Найдем значение $\sin (\frac{3 π}{5})$ .

${(- 0.30901699 + i \cdot 0.95105651)}^{3}$

Этап 1.3

Перенесем $0.95105651$ влево от $i$ .

${(- 0.30901699 + 0.95105651 i)}^{3}$

Этап 2

Воспользуемся бином Ньютона.

${(- 0.30901699)}^{3} + 3 {(- 0.30901699)}^{2} (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $- 0.30901699$ в степень $3$ .

$- 0.02950849 + 3 {(- 0.30901699)}^{2} (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Этап 3.1.2

Возведем $- 0.30901699$ в степень $2$ .

$- 0.02950849 + 3 \cdot 0.0954915 (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Этап 3.1.3

Умножим $3$ на $0.0954915$ .

$- 0.02950849 + 0.2864745 (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Этап 3.1.4

Умножим $0.95105651$ на $0.2864745$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Этап 3.1.5

Умножим $3$ на $- 0.30901699$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Этап 3.1.6

Применим правило умножения к $0.95105651 i$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 ({0.95105651}^{2} i^{2}) + {(0.95105651 i)}^{3}$

Этап 3.1.7

Возведем $0.95105651$ в степень $2$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 (0.90450849 i^{2}) + {(0.95105651 i)}^{3}$

Этап 3.1.8

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 (0.90450849 \cdot - 1) + {(0.95105651 i)}^{3}$

Этап 3.1.9

Умножим $- 0.92705098 (0.90450849 \cdot - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.9.1

Умножим $0.90450849$ на $- 1$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 \cdot - 0.90450849 + {(0.95105651 i)}^{3}$

Этап 3.1.9.2

Умножим $- 0.92705098$ на $- 0.90450849$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + {(0.95105651 i)}^{3}$

Этап 3.1.10

Применим правило умножения к $0.95105651 i$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + {0.95105651}^{3} i^{3}$

Этап 3.1.11

Возведем $0.95105651$ в степень $3$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 i^{3}$

Этап 3.1.12

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (i^{2} \cdot i)$

Этап 3.1.13

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (- 1 \cdot i)$

Этап 3.1.14

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (- i)$

Этап 3.1.15

Умножим $- 1$ на $0.8602387$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 - 0.8602387 i$

Этап 3.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $- 0.02950849$ и $0.83852549$ .

$0.80901699 + 0.27245344 i - 0.8602387 i$

Этап 3.2.2

Вычтем $0.8602387 i$ из $0.27245344 i$ .

$0.80901699 - 0.58778525 i$

Этап 4

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 5

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 6

Подставим фактические значения $a = 0.80901699$ и $b = - 0.58778525$ .

$| z | = \sqrt{{(- 0.58778525)}^{2} + {0.80901699}^{2}}$

Этап 7

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведем $- 0.58778525$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{0.3454915 + {0.80901699}^{2}}$

Этап 7.2

Возведем $0.80901699$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{0.3454915 + 0.65450849}$

Этап 7.3

Добавим $0.3454915$ и $0.65450849$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Этап 7.4

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$| z | = \sqrt{1^{2}}$

Этап 7.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 1$

Этап 8

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- 0.58778525}{0.80901699})$

Этап 9

Поскольку обратный тангенс $\frac{- 0.58778525}{0.80901699}$ дает угол в четвертом квадранте, значение угла равно $- \frac{π}{5}$ .

$θ = - \frac{π}{5}$

Этап 10

Подставим значения $θ = - \frac{π}{5}$ и $| z | = 1$ .

$1 (\cos (- \frac{π}{5}) + i \sin (- \frac{π}{5}))$