Математический анализ Примеры

$x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Этап 1

Запишем $x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ в виде функции.

$f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{4}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{2} - 5$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = x (4 u^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2} - 5$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

По правилу суммы производная $\frac{x}{2} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.3.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.3.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.3.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.3.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2})) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.3.6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f' (x) = x (\frac{4}{2} \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.3.6.3

Объединим $\frac{4}{2}$ и ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = x (\frac{4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.3.6.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.3.6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 (1)}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.3.6.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 \cdot 1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.3.6.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = x (\frac{2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.3.6.4.2.4

Разделим $2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ на $1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \cdot 1$

Этап 2.1.3.8

Умножим ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ на $1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Вынесем множитель ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ из $x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1.1

Изменим порядок $x$ и $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Этап 2.1.4.1.2

Вынесем множитель ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ из $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Этап 2.1.4.1.3

Вынесем множитель ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ из ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$

Этап 2.1.4.1.4

Вынесем множитель ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ из ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 5)$

Этап 2.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Чтобы записать $2 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Этап 2.1.4.2.2

Объединим $2 x$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Этап 2.1.4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 5)$

Этап 2.1.4.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 5)$

Этап 2.1.4.2.5

Добавим $4 x$ и $x$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2} - 5) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

По правилу суммы производная $\frac{5 x}{2} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Этап 2.2.2.2

Поскольку $\frac{5}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5 x}{2}$ по $x$ равна $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Этап 2.2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Этап 2.2.2.4

Умножим $\frac{5}{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Этап 2.2.2.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + 0) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Этап 2.2.2.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.6.1

Добавим $\frac{5}{2}$ и $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2}) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Этап 2.2.2.6.2

Объединим ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ и $\frac{5}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \cdot 5}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Этап 2.2.2.6.3

Перенесем $5$ влево от ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Этап 2.2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Перенесем $3$ влево от $\frac{5 x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)$

Этап 2.2.4.2

По правилу суммы производная $\frac{x}{2} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Этап 2.2.4.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Этап 2.2.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

Этап 2.2.4.5

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))$

Этап 2.2.4.6

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Этап 2.2.4.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.7.1

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2})$

Этап 2.2.4.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})$

Этап 2.2.4.7.3

Объединим ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ и $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \cdot 3}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

Этап 2.2.4.7.4

Перенесем $3$ влево от ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

Этап 2.2.5

Чтобы записать $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.2.6

Объединим $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

Этап 2.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

Этап 2.2.8

Объединим $2$ и $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Этап 2.2.9

Умножим $3$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Этап 2.2.10

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.1

Вынесем множитель $2$ из $6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Этап 2.2.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 (1)} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Этап 2.2.10.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 \cdot 1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Этап 2.2.10.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Этап 2.2.10.2.4

Разделим $3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Этап 2.2.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1.1

Вынесем множитель ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ из $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1.1.1

Вынесем множитель ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ из $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Этап 2.2.11.1.1.2

Вынесем множитель ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ из $3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Этап 2.2.11.1.1.3

Вынесем множитель ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ из ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5) + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Этап 2.2.11.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2}) + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Этап 2.2.11.1.3

Объединим $5$ и $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Этап 2.2.11.1.4

Умножим $5$ на $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Этап 2.2.11.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2}) + 3 \cdot - 5)}{2}$

Этап 2.2.11.1.6

Умножим $3 \frac{5 x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1.6.1

Объединим $3$ и $\frac{5 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{3 (5 x)}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

Этап 2.2.11.1.6.2

Умножим $5$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

Этап 2.2.11.1.7

Умножим $3$ на $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} - 15)}{2}$

Этап 2.2.11.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 25 - 15)}{2}$

Этап 2.2.11.1.9

Вычтем $15$ из $- 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Этап 2.2.11.1.10

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Этап 2.2.11.1.11

Объединим $- 5$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Этап 2.2.11.1.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Этап 2.2.11.1.13

Умножим $- 5$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Этап 2.2.11.1.14

Добавим $5 x$ и $15 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{20 x}{2} - 40)}{2}$

Этап 2.2.11.1.15

Сократим общий множитель $20$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1.15.1

Вынесем множитель $2$ из $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2} - 40)}{2}$

Этап 2.2.11.1.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1.15.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 (1)} - 40)}{2}$

Этап 2.2.11.1.15.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 \cdot 1} - 40)}{2}$

Этап 2.2.11.1.15.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{10 x}{1} - 40)}{2}$

Этап 2.2.11.1.15.2.4

Разделим $10 x$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (10 x - 40)}{2}$

Этап 2.2.11.1.16

Применим правило умножения к $\frac{x - 10}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x - 40)}{2}$

Этап 2.2.11.1.17

Вынесем множитель $10$ из $10 x - 40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1.17.1

Вынесем множитель $10$ из $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x) - 40)}{2}$

Этап 2.2.11.1.17.2

Вынесем множитель $10$ из $- 40$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x + 10 \cdot - 4)}{2}$

Этап 2.2.11.1.17.3

Вынесем множитель $10$ из $10 x + 10 \cdot - 4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x - 4))}{2}$

Этап 2.2.11.1.18

Объединим $\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}}$ и $10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{2^{2}} \cdot (x - 4)}{2}$

Этап 2.2.11.1.19

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

Этап 2.2.11.1.20

Сократим общий множитель $10$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1.20.1

Вынесем множитель $2$ из ${(x - 10)}^{2} \cdot 10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

Этап 2.2.11.1.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1.20.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 (2)} \cdot (x - 4)}{2}$

Этап 2.2.11.1.20.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 \cdot 2} \cdot (x - 4)}{2}$

Этап 2.2.11.1.20.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 5}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

Этап 2.2.11.1.21

Перенесем $5$ влево от ${(x - 10)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

Этап 2.2.11.2

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2})}{2}$

Этап 2.2.11.3

Вынесем множитель $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ из $\frac{(x - 4) \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$

Этап 2.2.11.4

Умножим $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.4.1

Умножим $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ на $\frac{x - 4}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.11.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$ .

$\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$5 {(x - 10)}^{2} (x - 4) = 0$

Этап 3.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x - 10)}^{2} = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 3.3.2

Приравняем ${(x - 10)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Приравняем ${(x - 10)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 10)}^{2} = 0$

Этап 3.3.2.2

Решим ${(x - 10)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Приравняем $x - 10$ к $0$ .

$x - 10 = 0$

Этап 3.3.2.2.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 3.3.3

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 3.3.3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 3.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $5 {(x - 10)}^{2} (x - 4) = 0$ верно.

$x = 10, 4$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $10$ в $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $10$ .

$f (10) = (10) {(\frac{10}{2} - 5)}^{4}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Разделим $10$ на $2$ .

$f (10) = 10 {(5 - 5)}^{4}$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$f (10) = 10 \cdot 0^{4}$

Этап 4.1.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (10) = 10 \cdot 0$

Этап 4.1.2.4

Умножим $10$ на $0$ .

$f (10) = 0$

Этап 4.1.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 4.2

Подставляя $10$ в $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ , найдем точку $(10, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(10, 0)$

Этап 4.3

Подставим $4$ в $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = (4) {(\frac{4}{2} - 5)}^{4}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разделим $4$ на $2$ .

$f (4) = 4 {(2 - 5)}^{4}$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $5$ из $2$ .

$f (4) = 4 {(- 3)}^{4}$

Этап 4.3.2.3

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$f (4) = 4 \cdot 81$

Этап 4.3.2.4

Умножим $4$ на $81$ .

$f (4) = 324$

Этап 4.3.2.5

Окончательный ответ: $324$ .

$324$

Этап 4.4

Подставляя $4$ в $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ , найдем точку $(4, 324)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(4, 324)$

Этап 4.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(10, 0), (4, 324)$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 4) \cup (4, 10) \cup (10, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 4)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.9$ .

$f'' (3.9) = \frac{5 {((3.9) - 10)}^{2} ((3.9) - 4)}{4}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вычтем $10$ из $3.9$ .

$f'' (3.9) = \frac{5 {(- 6.1)}^{2} (3.9 - 4)}{4}$

Этап 6.2.1.2

Вычтем $4$ из $3.9$ .

$f'' (3.9) = \frac{5 {(- 6.1)}^{2} \cdot - 0.1}{4}$

Этап 6.2.1.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Умножим $- 0.1$ на $5$ .

$f'' (3.9) = \frac{- 0.5 {(- 6.1)}^{2}}{4}$

Этап 6.2.1.3.2

Умножим $- 0.5$ на ${(- 6.1)}^{2}$ .

$f'' (3.9) = \frac{- 18.605}{4}$

Этап 6.2.2

Разделим $- 18.605$ на $4$ .

$f'' (3.9) = - 4.65125$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 4.65125$ .

$- 4.65125$

Этап 6.3

При $3.9$ вторая производная имеет вид $- 4.65125$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, 4)$ .

Убывание на $(- \infty, 4)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(4, 10)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7$ .

$f'' (7) = \frac{5 {((7) - 10)}^{2} ((7) - 4)}{4}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Вычтем $10$ из $7$ .

$f'' (7) = \frac{5 {(- 3)}^{2} (7 - 4)}{4}$

Этап 7.2.1.2

Вычтем $4$ из $7$ .

$f'' (7) = \frac{5 {(- 3)}^{2} \cdot 3}{4}$

Этап 7.2.1.3

Умножим $3$ на $5$ .

$f'' (7) = \frac{15 {(- 3)}^{2}}{4}$

Этап 7.2.1.4

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f'' (7) = \frac{15 \cdot 9}{4}$

Этап 7.2.2

Умножим $15$ на $9$ .

$f'' (7) = \frac{135}{4}$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $\frac{135}{4}$ .

$\frac{135}{4}$

Этап 7.3

При $7$ вторая производная имеет вид $33.75$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(4, 10)$ .

Возрастание в области $(4, 10)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(10, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $10.1$ .

$f'' (10.1) = \frac{5 {((10.1) - 10)}^{2} ((10.1) - 4)}{4}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Вычтем $10$ из $10.1$ .

$f'' (10.1) = \frac{5 \cdot ({0.1}^{2} (10.1 - 4))}{4}$

Этап 8.2.1.2

Вычтем $4$ из $10.1$ .

$f'' (10.1) = \frac{5 \cdot {0.1}^{2} \cdot 6.1}{4}$

Этап 8.2.1.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.3.1

Умножим $6.1$ на $5$ .

$f'' (10.1) = \frac{30.5 \cdot {0.1}^{2}}{4}$

Этап 8.2.1.3.2

Умножим $30.5$ на ${0.1}^{2}$ .

$f'' (10.1) = \frac{0.305}{4}$

Этап 8.2.2

Разделим $0.305$ на $4$ .

$f'' (10.1) = 0.07625$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $0.07625$ .

$0.07625$

Этап 8.3

При $10.1$ вторая производная имеет вид $0.07625$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(10, \infty)$ .

Возрастание в области $(10, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(4, 324)$ .

$(4, 324)$

Этап 10