Математический анализ Примеры

$x \sqrt{x^{2} + 25}$

Этап 1

Запишем $x \sqrt{x^{2} + 25}$ в виде функции.

$f (x) = x \sqrt{x^{2} + 25}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 25}$ в виде ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 25$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 25$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.8.3

Перенесем ${(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 25) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.9

По правилу суммы производная $x^{2} + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.11

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.12.2

Объединим $2$ и $\frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.12.3

Объединим $\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.13

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.14

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.16

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.16.1

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.16.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.16.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.17

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 2.1.18

Умножим ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.1.19

Чтобы записать ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.21

Умножим ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.21.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.21.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.21.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.21.4

Разделим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.22

Упростим ${(x^{2} + 25)}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.23

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x^{2} + 25$ и $g (x) = {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 25) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 25) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 25) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 25) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.3

Упростим.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 25) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.4.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} (25)) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.4.4

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (4 x + \frac{d}{d x} (25)) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.4.5

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (4 x + 0) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.6.1

Добавим $4 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (4 x) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.4.6.2

Перенесем $4$ влево от ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 \cdot ({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.5.2

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.10.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{{(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.10.3

Перенесем ${(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.11

По правилу суммы производная $x^{2} + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)))}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (25)))}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.13

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0))}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.14

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x))}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.14.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{2}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.14.3

Объединим $\frac{2}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.14.4

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.14.5

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) \frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x + (- (2 x^{2}) - 1 \cdot 25) (\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.15.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.15.2.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 1 \cdot 25) (\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.15.2.1.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 25) (\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.15.2.2

Умножим $- 2 x^{2} - 25$ на $\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} - 25) x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.15.2.3

Чтобы записать $4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(- 2 x^{2} - 25) x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.15.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 25) x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.15.2.5

Перепишем $\frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 25) x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.15.2.5.1

Вынесем множитель $x$ из $4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 25) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.15.2.5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + (- 2 x^{2} - 25) x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.15.2.5.1.2

Вынесем множитель $x$ из $(- 2 x^{2} - 25) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.15.2.5.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} - 25)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.15.2.5.2

Умножим ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.15.2.5.2.1

Перенесем ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 ({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.15.2.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.15.2.5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 + 1}{2}} - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.15.2.5.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}} - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.15.2.5.2.5

Разделим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 (x^{2} + 25) - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.15.2.5.3

Упростим $4 {(x^{2} + 25)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 (x^{2} + 25) - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.15.2.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 x^{2} + 4 \cdot 25 - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.15.2.5.5

Умножим $4$ на $25$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 x^{2} + 100 - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.15.2.5.6

Вычтем $2 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (2 x^{2} + 100 - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.15.2.5.7

Вычтем $25$ из $100$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.15.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.15.3.1

Перепишем $\frac{\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$ в виде произведения.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 25}$

Этап 2.2.15.3.2

Умножим $\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x^{2} + 25}$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 25)}$

Этап 2.2.15.3.3

Умножим ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ на $x^{2} + 25$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.15.3.3.1

Умножим ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ на $x^{2} + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.15.3.3.1.1

Возведем $x^{2} + 25$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 25)}$

Этап 2.2.15.3.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 2.2.15.3.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.15.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 2.2.15.3.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$x (2 x^{2} + 75) = 0$

Этап 3.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} + 75 = 0$

Этап 3.3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.3.3

Приравняем $2 x^{2} + 75$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Приравняем $2 x^{2} + 75$ к $0$ .

$2 x^{2} + 75 = 0$

Этап 3.3.3.2

Решим $2 x^{2} + 75 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Вычтем $75$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} = - 75$

Этап 3.3.3.2.2

Разделим каждый член $2 x^{2} = - 75$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x^{2} = - 75$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 75}{2}$

Этап 3.3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 75}{2}$

Этап 3.3.3.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 75}{2}$

Этап 3.3.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{75}{2}$

Этап 3.3.3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{75}{2}}$

Этап 3.3.3.2.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{75}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.4.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{75}{2}}$

Этап 3.3.3.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt{\frac{75}{2}}$

Этап 3.3.3.2.4.3

Перепишем $\sqrt{\frac{75}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.3.3.2.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.4.4.1

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.4.4.1.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{25 (3)}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.3.3.2.4.4.1.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.3.3.2.4.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.3.3.2.4.5

Умножим $\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 3.3.3.2.4.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.4.6.1

Умножим $\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.3.3.2.4.6.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 3.3.3.2.4.6.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 3.3.3.2.4.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.3.3.2.4.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.3.3.2.4.6.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.4.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.3.3.2.4.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.3.2.4.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.3.2.4.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.4.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.3.2.4.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 3.3.3.2.4.6.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.3.3.2.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.4.7.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{2 \cdot 3}}{2}$

Этап 3.3.3.2.4.7.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{6}}{2}$

Этап 3.3.3.2.4.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.4.8.1

Объединим $i$ и $\frac{5 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i (5 \sqrt{6})}{2}$

Этап 3.3.3.2.4.8.2

Перенесем $5$ влево от $i$ .

$x = \pm \frac{5 i \sqrt{6}}{2}$

Этап 3.3.3.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{5 i \sqrt{6}}{2}$

Этап 3.3.3.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{5 i \sqrt{6}}{2}$

Этап 3.3.3.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{5 i \sqrt{6}}{2}, - \frac{5 i \sqrt{6}}{2}$

Этап 3.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (2 x^{2} + 75) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{5 i \sqrt{6}}{2}, - \frac{5 i \sqrt{6}}{2}$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ в $f (x) = x \sqrt{x^{2} + 25}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = (0) \sqrt{{(0)}^{2} + 25}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{0 + 25}$

Этап 4.1.2.2

Добавим $0$ и $25$ .

$f (0) = 0 \sqrt{25}$

Этап 4.1.2.3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$f (0) = 0 \sqrt{5^{2}}$

Этап 4.1.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (0) = 0 \cdot 5$

Этап 4.1.2.5

Умножим $0$ на $5$ .

$f (0) = 0$

Этап 4.1.2.6

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 4.2

Подставляя $0$ в $f (x) = x \sqrt{x^{2} + 25}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{(- 0.1) (2 {(- 0.1)}^{2} + 75)}{{({(- 0.1)}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $- 0.1$ на $2 {(- 0.1)}^{2} + 75$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{({(- 0.1)}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $- 0.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{(0.01 + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $0.01$ и $25$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{25.01}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6.2.2.3

Перепишем $25.01$ в виде ${5.0009999}^{2}$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{({5.0009999}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6.2.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{5.0009999}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 6.2.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{5.0009999}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 6.2.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{5.0009999}^{3}}$

Этап 6.2.2.6

Возведем $5.0009999$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{125.07500749}$

Этап 6.2.3

Разделим $- 7.502$ на $125.07500749$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.05998$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- 0.05998$ .

$- 0.05998$

Этап 6.3

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $- 0.05998$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{(0.1) (2 {(0.1)}^{2} + 75)}{{({(0.1)}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $0.1$ на $2 \cdot {0.1}^{2} + 75$ .

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{({0.1}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $0.1$ в степень $2$ .

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{(0.01 + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.2.2

Добавим $0.01$ и $25$ .

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{25.01}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.2.3

Перепишем $25.01$ в виде ${5.0009999}^{2}$ .

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{({5.0009999}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{5.0009999}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 7.2.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{5.0009999}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 7.2.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{5.0009999}^{3}}$

Этап 7.2.2.6

Возведем $5.0009999$ в степень $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{125.07500749}$

Этап 7.2.3

Разделим $7.502$ на $125.07500749$ .

$f'' (0.1) = 0.05998$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $0.05998$ .

$0.05998$

Этап 7.3

При $0.1$ вторая производная имеет вид $0.05998$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Этап 9