Математический анализ Примеры

$\frac{15}{13} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 1

Запишем $\frac{15}{13} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{15}{13} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $\frac{15}{13}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{15}{13} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ по $x$ равна $\frac{15}{13} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}})$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ и $g (x) = x^{2} - 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 25$ .

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Этап 2.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 25$ .

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Этап 2.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Этап 2.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Этап 2.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Этап 2.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Этап 2.1.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Этап 2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Этап 2.1.8

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2 {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Этап 2.1.9

Перенесем ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Этап 2.1.10

Умножим $\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ на $\frac{15}{13}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 15}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 13} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Этап 2.1.11

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

Умножим $2$ на $15$ .

$f' (x) = \frac{30}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 13} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Этап 2.1.11.2

Умножим $13$ на $3$ .

$f' (x) = \frac{30}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Этап 2.1.12

Вынесем множитель $3$ из $30$ .

$f' (x) = \frac{3 (10)}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Этап 2.1.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.1

Вынесем множитель $3$ из $39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (10)}{3 (13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Этап 2.1.13.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{3 \cdot 10}{3 (13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Этап 2.1.13.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{10}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Этап 2.1.14

По правилу суммы производная $x^{2} - 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f' (x) = \frac{10}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))$

Этап 2.1.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{10}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))$

Этап 2.1.16

Поскольку $- 25$ является константой относительно $x$ , производная $- 25$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{10}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + 0)$

Этап 2.1.17

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.17.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{10}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x)$

Этап 2.1.17.2

Объединим $2$ и $\frac{10}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 10}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

Этап 2.1.17.3

Умножим $2$ на $10$ .

$f' (x) = \frac{20}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

Этап 2.1.17.4

Объединим $\frac{20}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{20 x}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{20}{13}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{20 x}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ по $x$ равна $\frac{20}{13} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Этап 2.2.3.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.3.3

Умножим ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.6

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.8.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.9.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.9.3

Перенесем ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.9.4

Объединим $\frac{1}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.10

По правилу суммы производная $x^{2} - 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.12

Поскольку $- 25$ является константой относительно $x$ , производная $- 25$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.13.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.13.3

Объединим $- 2$ и $\frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.13.4

Объединим $\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.14

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.15

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.17

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{(2) x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.19

Чтобы записать ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.20

Объединим ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.22

Умножим ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ на ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.22.1

Перенесем ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.22.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.22.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.22.4

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.22.5

Разделим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 25) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.23

Упростим ${(x^{2} - 25)}^{1} \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 25) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.24

Перенесем $3$ влево от $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.25

Перепишем $\frac{\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ в виде произведения.

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot (\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.2.26

Умножим $\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ на $\frac{1}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.27

Умножим ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ на ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.27.1

Перенесем ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}})}$

Этап 2.2.27.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.27.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Этап 2.2.27.4

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.2.28

Умножим $\frac{20}{13}$ на $\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{20 (3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2})}{13 (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}})}$

Этап 2.2.29

Умножим $3$ на $13$ .

$f'' (x) = \frac{20 (3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2})}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.2.30

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.30.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{20 (3 x^{2} + 3 \cdot - 25 - 2 x^{2})}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.2.30.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{20 (3 x^{2}) + 20 (3 \cdot - 25) + 20 (- 2 x^{2})}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.2.30.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.30.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.30.3.1.1

Умножим $3$ на $20$ .

$f'' (x) = \frac{60 x^{2} + 20 (3 \cdot - 25) + 20 (- 2 x^{2})}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.2.30.3.1.2

Умножим $20 (3 \cdot - 25)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.30.3.1.2.1

Умножим $3$ на $- 25$ .

$f'' (x) = \frac{60 x^{2} + 20 \cdot - 75 + 20 (- 2 x^{2})}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.2.30.3.1.2.2

Умножим $20$ на $- 75$ .

$f'' (x) = \frac{60 x^{2} - 1500 + 20 (- 2 x^{2})}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.2.30.3.1.3

Умножим $- 2$ на $20$ .

$f'' (x) = \frac{60 x^{2} - 1500 - 40 x^{2}}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.2.30.3.2

Вычтем $40 x^{2}$ из $60 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{2} - 1500}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.2.30.4

Вынесем множитель $20$ из $20 x^{2} - 1500$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.30.4.1

Вынесем множитель $20$ из $20 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{20 (x^{2}) - 1500}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.2.30.4.2

Вынесем множитель $20$ из $- 1500$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{2} + 20 \cdot - 75}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.2.30.4.3

Вынесем множитель $20$ из $20 x^{2} + 20 \cdot - 75$ .

$f'' (x) = \frac{20 (x^{2} - 75)}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{20 (x^{2} - 75)}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{20 (x^{2} - 75)}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{20 (x^{2} - 75)}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{20 (x^{2} - 75)}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$20 (x^{2} - 75) = 0$

Этап 3.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $20 (x^{2} - 75) = 0$ на $20$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Разделим каждый член $20 (x^{2} - 75) = 0$ на $20$ .

$\frac{20 (x^{2} - 75)}{20} = \frac{0}{20}$

Этап 3.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Сократим общий множитель $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{20 (x^{2} - 75)}{20} = \frac{0}{20}$

Этап 3.3.1.2.1.2

Разделим $x^{2} - 75$ на $1$ .

$x^{2} - 75 = \frac{0}{20}$

Этап 3.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Разделим $0$ на $20$ .

$x^{2} - 75 = 0$

Этап 3.3.2

Добавим $75$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 75$

Этап 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{75}$

Этап 3.3.4

Упростим $\pm \sqrt{75}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$x = \pm \sqrt{25 (3)}$

Этап 3.3.4.1.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2} \cdot 3}$

Этап 3.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 5 \sqrt{3}$

Этап 3.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 5 \sqrt{3}$

Этап 3.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 5 \sqrt{3}$

Этап 3.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $5 \sqrt{3}$ в $f (x) = \frac{15}{13} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5 \sqrt{3}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {({(5 \sqrt{3})}^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило умножения к $5 \sqrt{3}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(5^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 {\sqrt{3}}^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3 - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2.1.3.5

Найдем экспоненту.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3 - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $25$ на $3$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(75 - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Вычтем $25$ из $75$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot 50^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2.2.2

Объединим $\frac{15}{13}$ и $50^{\frac{2}{3}}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $\frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}$ .

$\frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}$

Этап 4.2

Подставляя $5 \sqrt{3}$ в $f (x) = \frac{15}{13} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ , найдем точку $(5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13})$

Этап 4.3

Подставим $- 5 \sqrt{3}$ в $f (x) = \frac{15}{13} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5 \sqrt{3}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {({(- 5 \sqrt{3})}^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Применим правило умножения к $- 5 \sqrt{3}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {({(- 5)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2.1.2

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 {\sqrt{3}}^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3 - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2.1.3.5

Найдем экспоненту.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3 - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2.1.4

Умножим $25$ на $3$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(75 - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вычтем $25$ из $75$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot 50^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2.2.2

Объединим $\frac{15}{13}$ и $50^{\frac{2}{3}}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}$

Этап 4.3.2.3

Окончательный ответ: $\frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}$ .

$\frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}$

Этап 4.4

Подставляя $- 5 \sqrt{3}$ в $f (x) = \frac{15}{13} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ , найдем точку $(- 5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13})$

Этап 4.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}), (- 5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 5 \sqrt{3}) \cup (- 5 \sqrt{3}, 5 \sqrt{3}) \cup (5 \sqrt{3}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 8.76025403$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{20 ({(- 8.76025403)}^{2} - 75)}{39 {({(- 8.76025403)}^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 8.76025403$ в степень $2$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{20 (76.7420508 - 75)}{39 {({(- 8.76025403)}^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 6.2.1.2

Вычтем $75$ из $76.7420508$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{20 \cdot 1.7420508}{39 {({(- 8.76025403)}^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $- 8.76025403$ в степень $2$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{20 \cdot 1.7420508}{39 {(76.7420508 - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $25$ из $76.7420508$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{20 \cdot 1.7420508}{39 \cdot {51.7420508}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $51.7420508$ в степень $\frac{4}{3}$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{20 \cdot 1.7420508}{39 \cdot 192.80791167}$

Этап 6.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $20$ на $1.7420508$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{34.84101615}{39 \cdot 192.80791167}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $39$ на $192.80791167$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{34.84101615}{7519.50855551}$

Этап 6.2.3.3

Разделим $34.84101615$ на $7519.50855551$ .

$f'' (- 8.76025403) = 0.00463341$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $0.00463341$ .

$0.00463341$

Этап 6.3

При $- 8.76025403$ вторая производная имеет вид $0.00463341$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 5 \sqrt{3}, 5 \sqrt{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{20 ({(0)}^{2} - 75)}{39 {({(0)}^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{20 (0 - 75)}{39 {(0^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.2.1.2

Вычтем $75$ из $0$ .

$f'' (0) = \frac{20 \cdot - 75}{39 {(0^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{20 \cdot - 75}{39 {(0 - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $25$ из $0$ .

$f'' (0) = \frac{20 \cdot - 75}{39 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.2.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $20$ на $- 75$ .

$f'' (0) = \frac{- 1500}{39 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.2.3.2

Вынесем множитель $3$ из $- 1500$ .

$f'' (0) = \frac{3 (- 500)}{39 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.2.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $39 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (0) = \frac{3 (- 500)}{3 (13 {(- 25)}^{\frac{4}{3}})}$

Этап 7.2.4.2

Сократим общий множитель.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 500}{3 (13 {(- 25)}^{\frac{4}{3}})}$

Этап 7.2.4.3

Перепишем это выражение.

$f'' (0) = \frac{- 500}{13 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (0) = - \frac{500}{13 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{500}{13 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{500}{13 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 7.3

При $0$ вторая производная имеет вид $- 0.52614644$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 5 \sqrt{3}, 5 \sqrt{3})$ .

Убывание на $(- 5 \sqrt{3}, 5 \sqrt{3})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(5 \sqrt{3}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8.76025403$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{20 ({(8.76025403)}^{2} - 75)}{39 {({(8.76025403)}^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $8.76025403$ в степень $2$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{20 (76.7420508 - 75)}{39 {({8.76025403}^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 8.2.1.2

Вычтем $75$ из $76.7420508$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{20 \cdot 1.7420508}{39 {({8.76025403}^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Возведем $8.76025403$ в степень $2$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{20 \cdot 1.7420508}{39 {(76.7420508 - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 8.2.2.2

Вычтем $25$ из $76.7420508$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{20 \cdot 1.7420508}{39 \cdot {51.7420508}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 8.2.2.3

Возведем $51.7420508$ в степень $\frac{4}{3}$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{20 \cdot 1.7420508}{39 \cdot 192.80791167}$

Этап 8.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Умножим $20$ на $1.7420508$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{34.84101615}{39 \cdot 192.80791167}$

Этап 8.2.3.2

Умножим $39$ на $192.80791167$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{34.84101615}{7519.50855551}$

Этап 8.2.3.3

Разделим $34.84101615$ на $7519.50855551$ .

$f'' (8.76025403) = 0.00463341$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ: $0.00463341$ .

$0.00463341$

Этап 8.3

При $8.76025403$ вторая производная имеет вид $0.00463341$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(5 \sqrt{3}, \infty)$ .

Возрастание в области $(5 \sqrt{3}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}), (5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13})$ .

$(- 5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}), (5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13})$

Этап 10