Математический анализ Примеры

$x^{2} e^{3 x}$

Этап 1

Запишем $x^{2} e^{3 x}$ в виде функции.

$f (x) = x^{2} e^{3 x}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{3 x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 2.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 2.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 2.1.3.3.2

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$f' (x) = x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 2.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$

Этап 2.1.4.2

Изменим порядок множителей в $3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ .

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $x e^{3 x}$ из $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $x e^{3 x}$ из $3 x^{2} e^{3 x}$ .

$x e^{3 x} (3 x) + 2 x e^{3 x} = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $x e^{3 x}$ из $2 x e^{3 x}$ .

$x e^{3 x} (3 x) + x e^{3 x} (2) = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $x e^{3 x}$ из $x e^{3 x} (3 x) + x e^{3 x} (2)$ .

$x e^{3 x} (3 x + 2) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$e^{3 x} = 0$

$3 x + 2 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем $e^{3 x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $e^{3 x}$ к $0$ .

$e^{3 x} = 0$

Этап 3.5.2

Решим $e^{3 x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (0)$

Этап 3.5.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 3.5.2.3

Нет решения для $e^{3 x} = 0$

Нет решения

Этап 3.6

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Этап 3.6.2

Решим $3 x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 2$

Этап 3.6.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 3.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 3.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Этап 3.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x e^{3 x} (3 x + 2) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, - \frac{2}{3}$ .

$0, - \frac{2}{3}$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{2}{3})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = 3 {(- 1.6666667)}^{2} e^{3 (- 1.6666667)} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 1.6666667$ в степень $2$ .

$f' (- 1.6666667) = 3 \cdot (2.777777\overline{8} e^{3 (- 1.6666667)}) + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $3$ на $2.777777\overline{8}$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} e^{3 (- 1.6666667)} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $3$ на $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} e^{- 5.0000001} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Этап 6.2.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} (\frac{1}{e^{5.0000001}}) + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Этап 6.2.1.5

Объединим $8.333333\overline{6}$ и $\frac{1}{e^{5.0000001}}$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{8.333333\overline{6}}{e^{5.0000001}} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Этап 6.2.1.6

Заменим $e$ приближением.

$f' (- 1.6666667) = \frac{8.333333\overline{6}}{{2.71828182}^{5.0000001}} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Этап 6.2.1.7

Возведем $2.71828182$ в степень $5.0000001$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{8.333333\overline{6}}{148.41317394} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Этап 6.2.1.8

Разделим $8.333333\overline{6}$ на $148.41317394$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Этап 6.2.1.9

Умножим $2$ на $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - 3.3333334 \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Этап 6.2.1.10

Умножим $3$ на $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - 3.3333334 \cdot e^{- 5.0000001}$

Этап 6.2.1.11

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - 3.3333334 \cdot \frac{1}{e^{5.0000001}}$

Этап 6.2.1.12

Объединим $- 3.3333334$ и $\frac{1}{e^{5.0000001}}$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 + \frac{- 3.3333334}{e^{5.0000001}}$

Этап 6.2.1.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - \frac{3.3333334}{e^{5.0000001}}$

Этап 6.2.1.14

Заменим $e$ приближением.

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - \frac{3.3333334}{{2.71828182}^{5.0000001}}$

Этап 6.2.1.15

Возведем $2.71828182$ в степень $5.0000001$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - \frac{3.3333334}{148.41317394}$

Этап 6.2.1.16

Разделим $3.3333334$ на $148.41317394$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - 1 \cdot 0.02245982$

Этап 6.2.1.17

Умножим $- 1$ на $0.02245982$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - 0.02245982$

Этап 6.2.2

Вычтем $0.02245982$ из $0.05614955$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.03368973$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $0.03368973$ .

$0.03368973$

Этап 6.3

При $x = - 1.6666667$ производная имеет вид $0.03368973$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - \frac{2}{3})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - \frac{2}{3})$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 0.6666667, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.\overline{3}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 3 {(- 0.\overline{3})}^{2} e^{3 (- 0.\overline{3})} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $- 0.\overline{3}$ в степень $2$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 3 \cdot (0.11111112 e^{3 (- 0.\overline{3})}) + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $3$ на $0.11111112$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.33333336 e^{3 (- 0.\overline{3})} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Этап 7.2.1.3

Умножим $3$ на $- 0.\overline{3}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.33333336 e^{- 1.00000005} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Этап 7.2.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.33333336 (\frac{1}{e^{1.00000005}}) + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Этап 7.2.1.5

Объединим $0.33333336$ и $\frac{1}{e^{1.00000005}}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = \frac{0.33333336}{e^{1.00000005}} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Этап 7.2.1.6

Заменим $e$ приближением.

$f' (- 0.\overline{3}) = \frac{0.33333336}{{2.71828182}^{1.00000005}} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Этап 7.2.1.7

Возведем $2.71828182$ в степень $1.00000005$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = \frac{0.33333336}{2.71828196} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Этап 7.2.1.8

Разделим $0.33333336$ на $2.71828196$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Этап 7.2.1.9

Умножим $2$ на $- 0.\overline{3}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - 0.6666667 \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Этап 7.2.1.10

Умножим $3$ на $- 0.\overline{3}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - 0.6666667 \cdot e^{- 1.00000005}$

Этап 7.2.1.11

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - 0.6666667 \cdot \frac{1}{e^{1.00000005}}$

Этап 7.2.1.12

Объединим $- 0.6666667$ и $\frac{1}{e^{1.00000005}}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 + \frac{- 0.6666667}{e^{1.00000005}}$

Этап 7.2.1.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - \frac{0.6666667}{e^{1.00000005}}$

Этап 7.2.1.14

Заменим $e$ приближением.

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - \frac{0.6666667}{{2.71828182}^{1.00000005}}$

Этап 7.2.1.15

Возведем $2.71828182$ в степень $1.00000005$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - \frac{0.6666667}{2.71828196}$

Этап 7.2.1.16

Разделим $0.6666667$ на $2.71828196$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - 1 \cdot 0.24525296$

Этап 7.2.1.17

Умножим $- 1$ на $0.24525296$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - 0.24525296$

Этап 7.2.2

Вычтем $0.24525296$ из $0.12262648$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - 0.12262647$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 0.12262647$ .

$- 0.12262647$

Этап 7.3

При $x = - 0.\overline{3}$ производная имеет вид $- 0.12262647$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 0.6666667, 0)$ .

Убывание на $(- \frac{2}{3}, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} e^{3 (1)} + 2 (1) \cdot e^{3 (1)}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 3 \cdot (1 e^{3 (1)}) + 2 (1) \cdot e^{3 (1)}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (1) = 3 e^{3 (1)} + 2 (1) \cdot e^{3 (1)}$

Этап 8.2.1.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (1) = 3 e^{3} + 2 (1) \cdot e^{3 (1)}$

Этап 8.2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (1) = 3 e^{3} + 2 \cdot e^{3 (1)}$

Этап 8.2.1.5

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (1) = 3 e^{3} + 2 e^{3}$

Этап 8.2.2

Добавим $3 e^{3}$ и $2 e^{3}$ .

$f' (1) = 5 e^{3}$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $5 e^{3}$ .

$5 e^{3}$

Этап 8.3

При $x = 1$ производная имеет вид $5 e^{3}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - \frac{2}{3}), (0, \infty)$

Убывание на: $(- \frac{2}{3}, 0)$

Этап 10