Математический анализ Примеры

$- \cos^{2} (x)$

Этап 1

Запишем $- \cos^{2} (x)$ в виде функции.

$f (x) = - \cos^{2} (x)$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos^{2} (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} \cos^{2} (x)$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$f' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = - (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Этап 2.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$f' (x) = - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Этап 2.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Этап 2.1.4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f' (x) = - 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Этап 2.1.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) \sin (x)$

Этап 2.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$f' (x) = \sin (x) (2 \cos (x))$

Этап 2.1.6.2

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (\sin (x) \cos (x))$

Этап 2.1.6.3

Применим формулу двойного угла для синуса.

$f' (x) = \sin (2 x)$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x)$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\sin (2 x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

Этап 3.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (0)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$2 x = 0$

Этап 3.4

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$2 x = π - 0$

Этап 3.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 x = π + 0$

Этап 3.6.1.2

Добавим $π$ и $0$ .

$2 x = π$

Этап 3.6.2

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 3.6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 3.6.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 3.7

Найдем период $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.7.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 3.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 3.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 3.7.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.8

Период функции $\sin (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.9

Объединим ответы.

$x = \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{π n}{2}$ .

$\frac{π n}{2}$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = \sin (2 x)$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = - \cos^{2} (x)$ в интервале $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{π n}{2})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π n}{2} - 1$ .

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2} - 1))$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Этап 6.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (π n + 2 \cdot - 1)$

Этап 6.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (π n - 2)$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $\sin (π n - 2)$ .

$\sin (π n - 2)$

Этап 6.3

При $x = \frac{π n}{2} - 1$ производная имеет вид $\sin (π n - 2)$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, \frac{π n}{2})$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{π n}{2})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\frac{π n}{2}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π n}{2} + 1$ .

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2} + 1))$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Этап 7.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (π n + 2 \cdot 1)$

Этап 7.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (π n + 2)$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $\sin (π n + 2)$ .

$\sin (π n + 2)$

Этап 7.3

При $x = \frac{π n}{2} + 1$ производная имеет вид $\sin (π n + 2)$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(\frac{π n}{2}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{π n}{2}, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(\frac{π n}{2}, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, \frac{π n}{2})$

Этап 9