Математический анализ Примеры

$2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$

Этап 1

Запишем $2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$ в виде функции.

$f (x) = 2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{\frac{5}{3}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Этап 2.1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Этап 2.1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Этап 2.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Этап 2.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Этап 2.1.2.6.2

Вычтем $3$ из $5$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Этап 2.1.2.7

Объединим $\frac{5}{3}$ и $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Этап 2.1.2.8

Объединим $2$ и $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Этап 2.1.2.9

Умножим $5$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{\frac{4}{3}}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{3}}$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{4}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1})$

Этап 2.1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 2.1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 2.1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 2.1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}})$

Этап 2.1.3.6.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.1.3.7

Объединим $\frac{4}{3}$ и $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 2.1.3.8

Объединим $- 5$ и $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 5 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

Этап 2.1.3.9

Умножим $4$ на $- 5$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 2.1.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Этап 3.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = 0, 8$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, 8$ .

$0, 8$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 6.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 6.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 6.2.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 6.2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{2} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 6.2.2.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = \frac{10 \cdot 1 - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 6.2.2.5

Умножим $10$ на $1$ .

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 6.2.2.6

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 6.2.2.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Этап 6.2.2.8

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.8.1

Сократим общий множитель.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Этап 6.2.2.8.2

Перепишем это выражение.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 \cdot - 1}{3}$

Этап 6.2.2.9

Найдем экспоненту.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 \cdot - 1}{3}$

Этап 6.2.2.10

Умножим $- 20$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{10 + 20}{3}$

Этап 6.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Добавим $10$ и $20$ .

$f' (- 1) = \frac{30}{3}$

Этап 6.2.3.2

Разделим $30$ на $3$ .

$f' (- 1) = 10$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $10$ .

$10$

Этап 6.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $10$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, 8)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = \frac{10 {(4)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(4)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (4) = \frac{10 {(4)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(4)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 7.2.2

Избавимся от скобок.

$f' (4) = \frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 7.3

При $x = 4$ производная имеет вид $\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 8)$ .

Убывание на $(0, 8)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(8, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $9$ .

$f' (9) = \frac{10 {(9)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(9)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (9) = \frac{10 {(9)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(9)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 8.2.2

Избавимся от скобок.

$f' (9) = \frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 8.3

При $x = 9$ производная имеет вид $\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(8, \infty)$ .

Убывание на $(8, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, 0)$

Убывание на: $(0, 8), (8, \infty)$

Этап 10