Математический анализ Примеры

$\frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$

Этап 1

Запишем $\frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 3 + e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

По правилу суммы производная $3 + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.1.3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} (e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.1.4

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.1.5

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Перенесем $e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.1.5.3

Добавим $x$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.1.6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.2.1

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.2.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.1.6.2.1.2

Добавим $x$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.1.6.2.2

Объединим противоположные члены в $3 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.2.2.1

Вычтем $e^{2 x}$ из $e^{2 x}$ .

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + 0}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.1.6.2.2.2

Добавим $3 e^{x}$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$3 e^{x} = 0$

Этап 3.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3 e^{x}) = \ln (0)$

Этап 3.3.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 3.3.3

Нет решения для $3 e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 4

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 5

Нет точек, в которых производная $f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ была бы равна $0$ или не определена. $f (x) = \frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$ проверяется на возрастание или убывание на интервале $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Этап 6

Подставим любое число, например $1$ , из интервала $(- \infty, \infty)$ в производную $f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ , чтобы проверить, является результат отрицательным или положительным. Если результат отрицательный, график убывает на интервале $(- \infty, \infty)$ . Если результат положительный, график возрастает на интервале $(- \infty, \infty)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{3 e^{1}}{{(3 + e^{1})}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим.

$f' (1) = \frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Окончательный ответ: $\frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$ .

$\frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$

Этап 7

Результат подстановки $1$ в $f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ равен $\frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$ и является положительным, поэтому график возрастает на интервале $(- \infty, \infty)$ .

Возрастание в области $(- \infty, \infty)$ , так как $\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} > 0$

Этап 8

Возрастание на интервале $(- \infty, \infty)$ означает, что функция постоянно возрастает.

Всегда возрастающие

Этап 9