Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 1

Запишем $\frac{x^{2}}{{(x - 7)}^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(x - 7)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{({(x - 7)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 7)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.2.3

Перенесем $2$ влево от ${(x - 7)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ({(x - 7)}^{2} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 7$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 7$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 7) \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.4.2

По правилу суммы производная $x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7)))}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) (1 + \frac{d}{d x} (- 7)))}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.4.4

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) (1 + 0))}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) \cdot 1)}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.4.5.2

Умножим $x - 7$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1.1

Перепишем ${(x - 7)}^{2}$ в виде $(x - 7) (x - 7)$ .

$f' (x) = \frac{2 ((x - 7) (x - 7)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.1.2

Развернем $(x - 7) (x - 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 (x (x - 7) - 7 (x - 7)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 (x - 7)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.1.3.1.2

Перенесем $- 7$ влево от $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 7 \cdot x - 7 x - 7 \cdot - 7) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.1.3.1.3

Умножим $- 7$ на $- 7$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 7 x - 7 x + 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.1.3.2

Вычтем $7 x$ из $- 7 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 14 x + 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 (- 14 x) + 2 \cdot 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1.5.1

Умножим $- 14$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 28 x + 2 \cdot 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.1.5.2

Умножим $2$ на $49$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 28 x + 98) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1.7.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1.7.1.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.1.7.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1.7.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.1.7.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.1.7.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.1.7.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1.7.2.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 (x \cdot x) + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.1.7.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.1.8

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1.8.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.1.8.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.1.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.1.8.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.1.9

Умножим $- 7$ на $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{3} + 14 x^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{3} + 14 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.2.1

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 28 x^{2} + 98 x + 0 + 14 x^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.2.2

Добавим $- 28 x^{2} + 98 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{- 28 x^{2} + 98 x + 14 x^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.3

Добавим $- 28 x^{2}$ и $14 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 14 x^{2} + 98 x}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.3

Вынесем множитель $14 x$ из $- 14 x^{2} + 98 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.3.1

Вынесем множитель $14 x$ из $- 14 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- x) + 98 x}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.3.2

Вынесем множитель $14 x$ из $98 x$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- x) + 14 x (7)}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.3.3

Вынесем множитель $14 x$ из $14 x (- x) + 14 x (7)$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- x + 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.4

Сократим общий множитель $- x + 7$ и ${(x - 7)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- (x) + 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.4.2

Перепишем $7$ в виде $- 1 (- 7)$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- (x) - 1 \cdot - 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 7)$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.4.4

Перепишем $- (x - 7)$ в виде $- 1 (x - 7)$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- 1 (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.4.5

Вынесем множитель $x - 7$ из $14 x (- 1 (x - 7))$ .

$f' (x) = \frac{(x - 7) (14 x \cdot (- 1))}{{(x - 7)}^{4}}$

Этап 2.1.5.4.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.4.6.1

Вынесем множитель $x - 7$ из ${(x - 7)}^{4}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 7) (14 x \cdot (- 1))}{(x - 7) {(x - 7)}^{3}}$

Этап 2.1.5.4.6.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{(x - 7) (14 x \cdot (- 1))}{(x - 7) {(x - 7)}^{3}}$

Этап 2.1.5.4.6.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{14 x \cdot (- 1)}{{(x - 7)}^{3}}$

Этап 2.1.5.5

Умножим $- 1$ на $14$ .

$f' (x) = \frac{- 14 x}{{(x - 7)}^{3}}$

Этап 2.1.5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$ .

$- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$14 x = 0$

Этап 3.3

Разделим каждый член $14 x = 0$ на $14$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $14 x = 0$ на $14$ .

$\frac{14 x}{14} = \frac{0}{14}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{14 x}{14} = \frac{0}{14}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{14}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим $0$ на $14$ .

$x = 0$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $0$ .

$0$

Этап 5

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим знаменатель в $\frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 7)}^{3} = 0$

Этап 5.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 5.2.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 6

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 7) \cup (7, \infty)$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{14 (- 1)}{{((- 1) - 7)}^{3}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $14$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 14}{{(- 1 - 7)}^{3}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $7$ из $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 14}{{(- 8)}^{3}}$

Этап 7.2.2.2

Возведем $- 8$ в степень $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 14}{- 512}$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель $- 14$ и $- 512$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 14$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 7}{- 512}$

Этап 7.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 512$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 256}$

Этап 7.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 256}$

Этап 7.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (- 1) = - \frac{7}{256}$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{7}{256}$ .

$- \frac{7}{256}$

Этап 7.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $- \frac{7}{256}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, 7)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{14 (\frac{7}{2})}{{((\frac{7}{2}) - 7)}^{3}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $14$ и $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7}{2} - 7)}^{3}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Чтобы записать $- 7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7}{2} - 7 \cdot \frac{2}{2})}^{3}}$

Этап 8.2.2.2

Объединим $- 7$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7}{2} + \frac{- 7 \cdot 2}{2})}^{3}}$

Этап 8.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7 - 7 \cdot 2}{2})}^{3}}$

Этап 8.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.4.1

Умножим $- 7$ на $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7 - 14}{2})}^{3}}$

Этап 8.2.2.4.2

Вычтем $14$ из $7$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{- 7}{2})}^{3}}$

Этап 8.2.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(- \frac{7}{2})}^{3}}$

Этап 8.2.2.6

Применим правило умножения к $- \frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(- 1)}^{3} {(\frac{7}{2})}^{3}}$

Этап 8.2.2.7

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- {(\frac{7}{2})}^{3}}$

Этап 8.2.2.8

Применим правило умножения к $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- \frac{7^{3}}{2^{3}}}$

Этап 8.2.2.9

Возведем $7$ в степень $3$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- \frac{343}{2^{3}}}$

Этап 8.2.2.10

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- \frac{343}{8}}$

Этап 8.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Умножим $14$ на $7$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{98}{2}}{- \frac{343}{8}}$

Этап 8.2.3.2

Разделим $98$ на $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{- \frac{343}{8}}$

Этап 8.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (- \frac{8}{343}))$

Этап 8.2.5

Сократим общий множитель $49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{8}{343}$ в числитель.

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (\frac{- 8}{343}))$

Этап 8.2.5.2

Вынесем множитель $49$ из $343$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (\frac{- 8}{49 (7)}))$

Этап 8.2.5.3

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (\frac{- 8}{49 \cdot 7}))$

Этап 8.2.5.4

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 8}{7}$

Этап 8.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{8}{7}$

Этап 8.2.7

Окончательный ответ: $\frac{8}{7}$ .

$\frac{8}{7}$

Этап 8.3

При $x = \frac{7}{2}$ производная имеет вид $\frac{8}{7}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, 7)$ .

Возрастание в области $(0, 7)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(7, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$f' (8) = - \frac{14 (8)}{{((8) - 7)}^{3}}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $14$ на $8$ .

$f' (8) = - \frac{112}{{(8 - 7)}^{3}}$

Этап 9.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вычтем $7$ из $8$ .

$f' (8) = - \frac{112}{1^{3}}$

Этап 9.2.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$f' (8) = - \frac{112}{1}$

Этап 9.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Разделим $112$ на $1$ .

$f' (8) = - 1 \cdot 112$

Этап 9.2.3.2

Умножим $- 1$ на $112$ .

$f' (8) = - 112$

Этап 9.2.4

Окончательный ответ: $- 112$ .

$- 112$

Этап 9.3

При $x = 8$ производная имеет вид $- 112$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(7, \infty)$ .

Убывание на $(7, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 10

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(0, 7)$

Убывание на: $(- \infty, 0), (7, \infty)$

Этап 11