Математический анализ Примеры

$x + e^{- 4 x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x + e^{- 4 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 4 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 4 x$ .

$1 + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 1.2.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1)$

Этап 1.2.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$1 + e^{- 4 x} \cdot - 4$

Этап 1.2.5

Перенесем $- 4$ влево от $e^{- 4 x}$ .

$1 - 4 e^{- 4 x}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $1 - 4 e^{- 4 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 4 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 4 e^{- 4 x})$

Этап 2.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 4 e^{- 4 x})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 e^{- 4 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 e^{- 4 x}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \frac{d}{d x} e^{- 4 x}$

Этап 2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 4 x$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 4 x))$

Этап 2.2.2.2

$f'' (x) = 0 - 4 (e^{u} \frac{d}{d x} (- 4 x))$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 4 x$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (- 4 x))$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} x))$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1))$

Этап 2.2.5

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (e^{- 4 x} \cdot - 4)$

Этап 2.2.6

Перенесем $- 4$ влево от $e^{- 4 x}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- 4 \cdot e^{- 4 x})$

Этап 2.2.7

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$f'' (x) = 0 + 16 e^{- 4 x}$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $16 e^{- 4 x}$ .

$f'' (x) = 16 e^{- 4 x}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$1 - 4 e^{- 4 x} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

По правилу суммы производная $x + e^{- 4 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 4 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 4.1.2.1.2

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 4.1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 4 x$ .

$1 + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 4.1.2.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1)$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$1 + e^{- 4 x} \cdot - 4$

Этап 4.1.2.5

Перенесем $- 4$ влево от $e^{- 4 x}$ .

$f' (x) = 1 - 4 e^{- 4 x}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $1 - 4 e^{- 4 x}$ .

$1 - 4 e^{- 4 x}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $1 - 4 e^{- 4 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$1 - 4 e^{- 4 x} = 0$

Этап 5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 4 e^{- 4 x} = - 1$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- 4 e^{- 4 x} = - 1$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- 4 e^{- 4 x} = - 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $e^{- 4 x}$ на $1$ .

$e^{- 4 x} = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$e^{- 4 x} = \frac{1}{4}$

Этап 5.4

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- 4 x}) = \ln (\frac{1}{4})$

Этап 5.5

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Развернем $\ln (e^{- 4 x})$ , вынося $- 4 x$ из логарифма.

$- 4 x \ln (e) = \ln (\frac{1}{4})$

Этап 5.5.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$- 4 x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{4})$

Этап 5.5.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$

Этап 5.6

Разделим каждый член $- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Разделим каждый член $- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Этап 5.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Этап 5.6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Этап 5.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$16 e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ в числитель.

$16 e^{- 4 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Этап 9.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$16 e^{4 (- 1) \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Этап 9.1.3

Сократим общий множитель.

$16 e^{4 \cdot - 1 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Этап 9.1.4

Перепишем это выражение.

$16 e^{- 1 (- \ln (\frac{1}{4}))}$

Этап 9.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$16 e^{1 \ln (\frac{1}{4})}$

Этап 9.2.2

Умножим $\ln (\frac{1}{4})$ на $1$ .

$16 e^{\ln (\frac{1}{4})}$

Этап 9.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$16 (\frac{1}{4})$

Этап 9.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$4 (4) \frac{1}{4}$

Этап 9.4.2

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 4 \frac{1}{4}$

Этап 9.4.3

Перепишем это выражение.

$4$

Этап 10

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Simplify $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ to substitute in $f (x) = x + e^{- 4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Перепишем $\frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ в виде $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ .

$y = - (\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{1}{4}))$

Этап 11.1.2

Упростим $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ путем переноса $\frac{1}{4}$ под логарифм.

$y = - \ln ({(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{4}})$

Этап 11.1.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$y = - \ln (\frac{1^{\frac{1}{4}}}{4^{\frac{1}{4}}})$

Этап 11.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$y = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})$

Этап 11.2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})$ .

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) + e^{- 4 (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}))}$

Этап 11.3

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1

Умножим $- 4 (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})}$

Этап 11.3.1.1.2

Упростим $4 \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})$ путем переноса $4$ под логарифм.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{\ln ({(\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})}^{4})}$

Этап 11.3.1.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + {(\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})}^{4}$

Этап 11.3.1.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}$ .

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1^{4}}{{(4^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Этап 11.3.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{{(4^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Этап 11.3.1.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.5.1

Перемножим экспоненты в ${(4^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Этап 11.3.1.5.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Этап 11.3.1.5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$

Этап 11.3.1.5.2

Найдем экспоненту.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$

Этап 11.3.2

Окончательный ответ: $- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$ .

$y = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = x + e^{- 4 x}$ .

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$ — локальный минимум

Этап 13