Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 81}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2} + 81} d x$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $81$ .

$\int \frac{1}{81 + x^{2}} d x$

Этап 3.2

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$\int \frac{1}{9^{2} + x^{2}} d x$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{9^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{9} \arctan (\frac{x}{9}) + C$ .

$\frac{1}{9} \arctan (\frac{x}{9}) + C$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{9}$ и $\arctan (\frac{x}{9})$ .

$\frac{\arctan (\frac{x}{9})}{9} + C$

Этап 5.2

Перепишем $\frac{\arctan (\frac{x}{9})}{9} + C$ в виде $\frac{1}{9} \arctan (\frac{1}{9} x) + C$ .

$\frac{1}{9} \arctan (\frac{1}{9} x) + C$

Этап 6

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 81}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{9} \arctan (\frac{1}{9} x) + C$