Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 25}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 25}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 25}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x^{2} - 25})$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 25$ .

$f' (x) = 4 (\frac{(x^{2} - 25) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 4 (\frac{(x^{2} - 25) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Этап 1.3.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} - 25$ .

$f' (x) = 4 (\frac{2 \cdot ((x^{2} - 25) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f' (x) = 4 (\frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 4 (\frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Этап 1.3.5

Поскольку $- 25$ является константой относительно $x$ , производная $- 25$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 4 (\frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Этап 1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = 4 (\frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Этап 1.3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Этап 1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Этап 1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 4 (\frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Этап 1.6

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = 4 (\frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Этап 1.7

Объединим $4$ и $\frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{4 (2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{4 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 25) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{4 (2 x^{2} x + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{4 (2 x^{2} x) + 4 (2 \cdot (- 25 x)) + 4 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{4 (2 (x \cdot x^{2})) + 4 (2 \cdot (- 25 x)) + 4 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.8.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{4 (2 (x \cdot x^{2})) + 4 (2 \cdot (- 25 x)) + 4 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.8.4.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{4 (2 x^{1 + 2}) + 4 (2 \cdot (- 25 x)) + 4 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.8.4.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{4 (2 x^{3}) + 4 (2 \cdot (- 25 x)) + 4 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.8.4.1.2

Умножим $2$ на $4$ .

$f' (x) = \frac{8 x^{3} + 4 (2 \cdot (- 25 x)) + 4 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.8.4.1.3

Умножим $2$ на $- 25$ .

$f' (x) = \frac{8 x^{3} + 4 (- 50 x) + 4 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.8.4.1.4

Умножим $- 50$ на $4$ .

$f' (x) = \frac{8 x^{3} - 200 x + 4 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.8.4.1.5

Умножим $- 2$ на $4$ .

$f' (x) = \frac{8 x^{3} - 200 x - 8 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.8.4.2

Объединим противоположные члены в $8 x^{3} - 200 x - 8 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.2.1

Вычтем $8 x^{3}$ из $8 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 200 x + 0}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.8.4.2.2

Добавим $- 200 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{- 200 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.8.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{200 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.8.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.6.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{200 x}{{(x^{2} - 5^{2})}^{2}}$

Этап 1.8.6.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$f' (x) = - \frac{200 x}{{((x + 5) (x - 5))}^{2}}$

Этап 1.8.6.3

Применим правило умножения к $(x + 5) (x - 5)$ .

$f' (x) = - \frac{200 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 200$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{200 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$ по $x$ равна $- 200 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Этап 2.2

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.3.2

Умножим ${(x + 5)}^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(x + 5)}^{2}$ и $g (x) = {(x - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x ({(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{2}) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x - 5$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x ({(x + 5)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 5)) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x ({(x + 5)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 5)) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 5$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x ({(x + 5)}^{2} (2 (x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5)) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Перенесем $2$ влево от ${(x + 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 \cdot ({(x + 5)}^{2} (x - 5)) \frac{d}{d x} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.6.2

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.6.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) (1 + 0) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.6.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) \cdot 1 + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.6.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x + 5$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 5$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} (2 (x + 5) \frac{d}{d x} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Перенесем $2$ влево от ${(x - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 \cdot ({(x - 5)}^{2} (x + 5)) \frac{d}{d x} (x + 5))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.8.2

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.8.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5) (1 + \frac{d}{d x} (5)))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.8.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5) (1 + 0))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.8.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5) \cdot 1)}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.8.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.8.5.3

Объединим $- 200$ и $\frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 200 ({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.8.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{(200) ({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Применим правило умножения к ${(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{200 ({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{200 ({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5)) - x (2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{200 ({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}) + 200 (- x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5))) + 200 (- x (2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.1

Вынесем множитель $200 (x + 5) (x - 5)$ из $200 {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} + 200 (- x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5))) + 200 (- x (2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.1.1

Вынесем множитель $200 (x + 5) (x - 5)$ из $200 {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5)) + 200 (- x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5))) + 200 (- x (2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.1.2

Вынесем множитель $200 (x + 5) (x - 5)$ из $200 (- x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5)))$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5)) + 200 (x + 5) (x - 5) (- x (2 (x + 5))) + 200 (- x (2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.1.3

Вынесем множитель $200 (x + 5) (x - 5)$ из $200 (- x (2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5)) + 200 (x + 5) (x - 5) (- x (2 (x + 5))) + 200 (x + 5) (x - 5) (- x (2 (x - 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.1.4

Вынесем множитель $200 (x + 5) (x - 5)$ из $200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5)) + 200 (x + 5) (x - 5) (- x (2 (x + 5)))$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5) - x (2 (x + 5))) + 200 (x + 5) (x - 5) (- x (2 (x - 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.1.5

Вынесем множитель $200 (x + 5) (x - 5)$ из $200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5) - x (2 (x + 5))) + 200 (x + 5) (x - 5) (- x (2 (x - 5)))$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5) - x (2 (x + 5)) - x (2 (x - 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5) - 2 x (x + 5) - x (2 (x - 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5) - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.3.1

Развернем $(x + 5) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x (x - 5) + 5 (x - 5) - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5) - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5 - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.3.2

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.3.2.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 5$ и $5 x$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5 - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.3.2.2

Добавим $- 5 x$ и $5 x$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5 - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.3.2.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x \cdot x + 5 \cdot - 5 - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.3.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 5 \cdot - 5 - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.3.3.2

Умножим $5$ на $- 5$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 5 - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.3.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.3.5.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 5 - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.3.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 5 - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.3.6

Умножим $5$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 10 x - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.3.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 10 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 5)}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.3.8

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.3.8.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 10 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 5)}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.3.8.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 10 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 5)}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.3.9

Умножим $- 5$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 10 x - 2 x^{2} + 10 x)}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.4

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 10 x - 2 x^{2} + 10 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.4.1

Добавим $- 10 x$ и $10 x$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.4.2

Добавим $x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.5

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (- x^{2} - 25 - 2 x^{2})}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.6

Вычтем $2 x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (- 3 x^{2} - 25)}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.5.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 5)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (- 3 x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{2 \cdot 2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.5.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (- 3 x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{4} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.5.2

Перемножим экспоненты в ${({(x - 5)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (- 3 x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.9.5.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (- 3 x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.9.5.3

Сократим общий множитель $x + 5$ и ${(x + 5)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.5.3.1

Вынесем множитель $x + 5$ из $200 (x + 5) (x - 5) (- 3 x^{2} - 25)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 5) ((200 (x - 5)) (- 3 x^{2} - 25))}{{(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.9.5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.5.3.2.1

Вынесем множитель $x + 5$ из ${(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 5) ((200 (x - 5)) (- 3 x^{2} - 25))}{(x + 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4})}$

Этап 2.9.5.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{(x + 5) ((200 (x - 5)) (- 3 x^{2} - 25))}{(x + 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4})}$

Этап 2.9.5.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{(200 (x - 5)) (- 3 x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.9.5.4

Сократим общий множитель $x - 5$ и ${(x - 5)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.5.4.1

Вынесем множитель $x - 5$ из $200 (x - 5) (- 3 x^{2} - 25)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 5) (200 (- 3 x^{2} - 25))}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.9.5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.5.4.2.1

Вынесем множитель $x - 5$ из ${(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 5) (200 (- 3 x^{2} - 25))}{(x - 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3})}$

Этап 2.9.5.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{(x - 5) (200 (- 3 x^{2} - 25))}{(x - 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3})}$

Этап 2.9.5.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{200 (- 3 x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.9.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (- (3 x^{2}) - 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.9.7

Перепишем $- 25$ в виде $- 1 (25)$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.9.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - 1 (25)$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (- (3 x^{2} + 25))}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.9.9

Перепишем $- (3 x^{2} + 25)$ в виде $- 1 (3 x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (- 1 (3 x^{2} + 25))}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.9.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{200 (3 x^{2} + 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.9.11

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{200 (3 x^{2} + 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}})$

Этап 2.9.12

Умножим $\frac{200 (3 x^{2} + 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{200 (3 x^{2} + 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{200 (3 x^{2} + 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$ .

$\frac{200 (3 x^{2} + 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$