Математический анализ Примеры

$y = 6 x - 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ ; $x = 1$

Этап 1

По правилу суммы производная $6 x - 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Этап 2.3

Умножим $6$ на $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ .

$6 - 12 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 4 x^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x^{2} - 3$ .

$6 - 12 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 - 12 (2 u \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x^{2} - 3$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $4 x^{2} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Этап 3.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Этап 3.6

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 (2 x) + 0))$

Этап 3.7

Умножим $2$ на $4$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (8 x + 0))$

Этап 3.8

Добавим $8 x$ и $0$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (8 x))$

Этап 3.9

Умножим $8$ на $2$ .

$6 - 12 (16 (4 x^{2} - 3) x)$

Этап 3.10

Умножим $16$ на $- 12$ .

$6 - 192 (4 x^{2} - 3) x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 + (- 192 (4 x^{2}) - 192 \cdot - 3) x$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 - 192 (4 x^{2}) x - 192 \cdot - 3 x$

Этап 4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $4$ на $- 192$ .

$6 - 768 x^{2} x - 192 \cdot - 3 x$

Этап 4.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 - 768 (x^{1} x^{2}) - 192 \cdot - 3 x$

Этап 4.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 - 768 x^{1 + 2} - 192 \cdot - 3 x$

Этап 4.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$6 - 768 x^{3} - 192 \cdot - 3 x$

Этап 4.3.5

Умножим $- 192$ на $- 3$ .

$6 - 768 x^{3} + 576 x$

Этап 4.4

Изменим порядок членов.

$- 768 x^{3} + 576 x + 6$

Этап 5

Найдем производную в $x = 1$ .

$- 768 {(1)}^{3} + 576 (1) + 6$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$- 768 \cdot 1 + 576 (1) + 6$

Этап 6.1.2

Умножим $- 768$ на $1$ .

$- 768 + 576 (1) + 6$

Этап 6.1.3

Умножим $576$ на $1$ .

$- 768 + 576 + 6$

Этап 6.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $- 768$ и $576$ .

$- 192 + 6$

Этап 6.2.2

Добавим $- 192$ и $6$ .

$- 186$