Математический анализ Примеры

$f'' (x) = - 2 + 30 x - 12 x^{2}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $f' (x)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 2 d x + \int 30 x d x + \int - 12 x^{2} d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 2 x + C + \int 30 x d x + \int - 12 x^{2} d x$

Этап 4

Поскольку $30$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $30$ из-под знака интеграла.

$- 2 x + C + 30 \int x d x + \int - 12 x^{2} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 x + C + 30 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 12 x^{2} d x$

Этап 6

Поскольку $- 12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 12$ из-под знака интеграла.

$- 2 x + C + 30 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 12 \int x^{2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 x + C + 30 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$- 2 x + 15 x^{2} - 12 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- 2 x + 15 x^{2} - 12 \frac{x^{3}}{3} + C$

Этап 8.2.2

Объединим $- 12$ и $\frac{x^{3}}{3}$ .

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{- 12 x^{3}}{3} + C$

Этап 8.2.3

Сократим общий множитель $- 12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 12 x^{3}$ .

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{3 (- 4 x^{3})}{3} + C$

Этап 8.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{3 (- 4 x^{3})}{3 (1)} + C$

Этап 8.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{3 (- 4 x^{3})}{3 \cdot 1} + C$

Этап 8.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{- 4 x^{3}}{1} + C$

Этап 8.2.3.2.4

Разделим $- 4 x^{3}$ на $1$ .

$- 2 x + 15 x^{2} - 4 x^{3} + C$

Этап 9

Функция $f'$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$f' (x) = - 2 x + 15 x^{2} - 4 x^{3} + C$

Этап 10

Чтобы найти функцию $f (x)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Этап 11

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 2 x d x + \int 15 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Этап 12

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- 2 \int x d x + \int 15 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Этап 13

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 15 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Этап 14

Поскольку $15$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $15$ из-под знака интеграла.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 \int x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Этап 15

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Этап 16

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 \int x^{3} d x + \int C d x$

Этап 17

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int C d x$

Этап 18

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + C x + C$

Этап 19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + C x + C$

Этап 19.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + C x + C$

Этап 19.1.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) + C x + C$

Этап 19.2

Упростим.

$- x^{2} + 5 x^{3} - x^{4} + C x + C$

Этап 20

Функция $f$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$f (x) = - x^{2} + 5 x^{3} - x^{4} + C x + C$