Математический анализ Примеры

$x = y^{2}$ , $x = 3 y$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (y)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (y))}^{2} - {(g (y))}^{2} d y$ , где $f (y) = 3 y$ и $g (y) = y^{2}$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило умножения к $3 y$ .

$V = 3^{2} y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$V = 9 y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 9 y^{2} - y^{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$V = 9 y^{2} - y^{4}$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{0}^{3} 9 y^{2} d y + \int_{0}^{3} - y^{4} d y)$

Этап 4

Поскольку $9$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$V = π (9 \int_{0}^{3} y^{2} d y + \int_{0}^{3} - y^{4} d y)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$V = π (9 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - y^{4} d y)$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$V = π (9 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - y^{4} d y)$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$V = π (9 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} y^{4} d y)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $y^{4}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$V = π (9 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3}) - (\frac{1}{5} y^{5}]_{0}^{3}))$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $y^{5}$ .

$V = π (9 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3}) - (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{3}))$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $\frac{y^{3}}{3}$ в $3$ и в $0$ .

$V = π (9 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{3}))$

Этап 9.2.2

Найдем значение $\frac{y^{5}}{5}$ в $3$ и в $0$ .

$V = π (9 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$V = π (9 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.2

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$V = π (9 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$V = π (9 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (9 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (9 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.2.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$V = π (9 (9 - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (9 (9 - \frac{0}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.4

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$V = π (9 (9 - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$V = π (9 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (9 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (9 (9 - \frac{0}{1}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (9 (9 - 0) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (9 (9 + 0) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.6

Добавим $9$ и $0$ .

$V = π (9 \cdot 9 - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.7

Умножим $9$ на $9$ .

$V = π (81 - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.8

Возведем $3$ в степень $5$ .

$V = π (81 - (\frac{243}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 9.2.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (81 - (\frac{243}{5} - \frac{0}{5}))$

Этап 9.2.3.10

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.10.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$V = π (81 - (\frac{243}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

Этап 9.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$V = π (81 - (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Этап 9.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (81 - (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Этап 9.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (81 - (\frac{243}{5} - \frac{0}{1}))$

Этап 9.2.3.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (81 - (\frac{243}{5} - 0))$

Этап 9.2.3.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (81 - (\frac{243}{5} + 0))$

Этап 9.2.3.12

Добавим $\frac{243}{5}$ и $0$ .

$V = π (81 - \frac{243}{5})$

Этап 9.2.3.13

Чтобы записать $81$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$V = π (81 \cdot \frac{5}{5} - \frac{243}{5})$

Этап 9.2.3.14

Объединим $81$ и $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{81 \cdot 5}{5} - \frac{243}{5})$

Этап 9.2.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{81 \cdot 5 - 243}{5})$

Этап 9.2.3.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.16.1

Умножим $81$ на $5$ .

$V = π (\frac{405 - 243}{5})$

Этап 9.2.3.16.2

Вычтем $243$ из $405$ .

$V = π (\frac{162}{5})$

Этап 9.2.3.17

Объединим $π$ и $\frac{162}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 162}{5}$

Этап 9.2.3.18

Перенесем $162$ влево от $π$ .

$V = \frac{162 π}{5}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{162 π}{5}$

Десятичная форма:

$V = 101.78760197 \dots$

Этап 11