Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 e^{x} - 1$ ; $[- 2, 4]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$2 e^{x} - 1 = 0$

Этап 1.2

Решим $2 e^{x} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 e^{x} = 1$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $2 e^{x} = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $2 e^{x} = 1$ на $2$ .

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $e^{x}$ на $1$ .

$e^{x} = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

Этап 1.2.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

Этап 1.2.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

Этап 1.2.4.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Этап 1.3

Подставим $\ln (\frac{1}{2})$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(\ln (\frac{1}{2}), 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} 0 d x - \int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} 2 e^{x} - 1 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 2$ и $\ln (\frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} 0 - (2 e^{x} - 1) d x$

Этап 3.2

Вычтем $2 e^{x} - 1$ из $0$ .

$\int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} - (2 e^{x} - 1) d x$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} - (2 e^{x}) + 1 d x$

Этап 3.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 e^{x} - - 1$

Этап 3.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 2 e^{x} + 1$

$\int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} - 2 e^{x} + 1 d x$

Этап 3.5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} - 2 e^{x} d x + \int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} d x$

Этап 3.6

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- 2 \int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} e^{x} d x + \int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} d x$

Этап 3.7

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$- 2 (e^{x}]_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})}) + \int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} d x$

Этап 3.8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 2 (e^{x}]_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})}) + x]_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})}$

Этап 3.9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Найдем значение $e^{x}$ в $\ln (\frac{1}{2})$ и в $- 2$ .

$- 2 ((e^{\ln (\frac{1}{2})}) - e^{- 2}) + x]_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})}$

Этап 3.9.2

Найдем значение $x$ в $\ln (\frac{1}{2})$ и в $- 2$ .

$- 2 (e^{\ln (\frac{1}{2})} - e^{- 2}) + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

Этап 3.9.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$- 2 (\frac{1}{2} - e^{- 2}) + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

Этап 3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{e^{2}}) + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

Этап 3.10.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 (\frac{1}{2}) - 2 (- \frac{1}{e^{2}}) + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

Этап 3.10.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{1}{2} - 2 (- \frac{1}{e^{2}}) + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

Этап 3.10.1.3.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} - 2 (- \frac{1}{e^{2}}) + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

Этап 3.10.1.3.3

Перепишем это выражение.

$- 1 - 2 (- \frac{1}{e^{2}}) + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

Этап 3.10.1.4

Умножим $- 2 (- \frac{1}{e^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 1 + 2 \frac{1}{e^{2}} + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

Этап 3.10.1.4.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$- 1 + \frac{2}{e^{2}} + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

Этап 3.10.2

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{2}{e^{2}} + \ln (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 4

$A r e a = \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} 2 e^{x} - 1 d x - \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} 0 d x$

Этап 5

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $\ln (\frac{1}{2})$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $\ln (\frac{1}{2})$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} 0 - (2 e^{x} - 1) d x$

Этап 5.1.2

Вычтем $2 e^{x} - 1$ из $0$ .

$\int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} - (2 e^{x} - 1) d x$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} - (2 e^{x}) + 1 d x$

Этап 5.1.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 e^{x} - - 1$

Этап 5.1.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 2 e^{x} + 1$

$\int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} - 2 e^{x} + 1 d x$

Этап 5.1.5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} - 2 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} d x$

Этап 5.1.6

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- 2 \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} d x$

Этап 5.1.7

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$- 2 (e^{x}]_{\ln (\frac{1}{2})}^{4}) + \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} d x$

Этап 5.1.8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 2 (e^{x}]_{\ln (\frac{1}{2})}^{4}) + x]_{\ln (\frac{1}{2})}^{4}$

Этап 5.1.9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.1

Найдем значение $e^{x}$ в $4$ и в $\ln (\frac{1}{2})$ .

$- 2 ((e^{4}) - e^{\ln (\frac{1}{2})}) + x]_{\ln (\frac{1}{2})}^{4}$

Этап 5.1.9.2

Найдем значение $x$ в $4$ и в $\ln (\frac{1}{2})$ .

$- 2 (e^{4} - e^{\ln (\frac{1}{2})}) + 4 - \ln (\frac{1}{2})$

Этап 5.1.9.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$- 2 (e^{4} - \frac{1}{2}) + 4 - \ln (\frac{1}{2})$

Этап 5.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.10.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 e^{4} - 2 (- \frac{1}{2}) + 4 - \ln (\frac{1}{2})$

Этап 5.1.10.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.10.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$- 2 e^{4} - 2 (\frac{- 1}{2}) + 4 - \ln (\frac{1}{2})$

Этап 5.1.10.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$- 2 e^{4} + 2 (- 1) \frac{- 1}{2} + 4 - \ln (\frac{1}{2})$

Этап 5.1.10.1.2.3

Сократим общий множитель.

$- 2 e^{4} + 2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} + 4 - \ln (\frac{1}{2})$

Этап 5.1.10.1.2.4

Перепишем это выражение.

$- 2 e^{4} - - 1 + 4 - \ln (\frac{1}{2})$

Этап 5.1.10.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 2 e^{4} + 1 + 4 - \ln (\frac{1}{2})$

Этап 5.1.10.2

Добавим $1$ и $4$ .

$- 2 e^{4} + 5 - \ln (\frac{1}{2})$

Этап 5.2

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} 2 e^{x} - 1 - (0) d x$

Этап 5.3

Вычтем $0$ из $2 e^{x} - 1$ .

$\int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} 2 e^{x} - 1 d x$

Этап 5.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} 2 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} - 1 d x$

Этап 5.5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} - 1 d x$

Этап 5.6

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$2 (e^{x}]_{\ln (\frac{1}{2})}^{4}) + \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} - 1 d x$

Этап 5.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (e^{x}]_{\ln (\frac{1}{2})}^{4}) + - x]_{\ln (\frac{1}{2})}^{4}$

Этап 5.8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Найдем значение $e^{x}$ в $4$ и в $\ln (\frac{1}{2})$ .

$2 ((e^{4}) - e^{\ln (\frac{1}{2})}) + - x]_{\ln (\frac{1}{2})}^{4}$

Этап 5.8.2

Найдем значение $- x$ в $4$ и в $\ln (\frac{1}{2})$ .

$2 (e^{4} - e^{\ln (\frac{1}{2})}) + - 1 \cdot 4 + \ln (\frac{1}{2})$

Этап 5.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$2 (e^{4} - \frac{1}{2}) - 1 \cdot 4 + \ln (\frac{1}{2})$

Этап 5.8.3.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$2 (e^{4} - \frac{1}{2}) - 4 + \ln (\frac{1}{2})$

Этап 5.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 e^{4} + 2 (- \frac{1}{2}) - 4 + \ln (\frac{1}{2})$

Этап 5.9.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$2 e^{4} + 2 (\frac{- 1}{2}) - 4 + \ln (\frac{1}{2})$

Этап 5.9.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 e^{4} + 2 (\frac{- 1}{2}) - 4 + \ln (\frac{1}{2})$

Этап 5.9.1.2.3

Перепишем это выражение.

$2 e^{4} - 1 - 4 + \ln (\frac{1}{2})$

Этап 5.9.2

Вычтем $4$ из $- 1$ .

$2 e^{4} - 5 + \ln (\frac{1}{2})$

Этап 6

Сложим площади $\frac{2}{e^{2}} + \ln (\frac{1}{2}) + 1 + 2 e^{4} - 5 + \ln (\frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{2}{e^{2}} + 1 + 2 e^{4} - 5 + \ln (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 6.2

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{e^{2}} + 1 + 2 e^{4} - 5 + \ln (\frac{1}{2 \cdot 2})$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2}{e^{2}} + 1 + 2 e^{4} - 5 + \ln (\frac{1}{4})$

Этап 6.3

Вычтем $5$ из $1$ .

$\frac{2}{e^{2}} + 2 e^{4} - 4 + \ln (\frac{1}{4})$

Этап 7