Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ ; $[1, e^{3}]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{e} = 0$

Этап 1.2

Решим $\frac{1}{x} - \frac{1}{e} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $\frac{1}{e}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$

Этап 1.2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, e + y = 0$

Этап 1.2.2.2

Так как $x, e$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{1}$ .

Этап 1.2.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

$1$ перечисляет простые множители каждого числа.

Этап 1.2.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.2.2.5

НОК $1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1 + y = 0$

Этап 1.2.2.6

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x = x$

Этап 1.2.2.7

НОК $x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x + y = 0$

Этап 1.2.3

Каждый член в $\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$ на $x$ .

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{e} x$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{e} x$

Этап 1.2.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{1}{e} x$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Объединим $\frac{1}{e}$ и $x$ .

$1 = \frac{x}{e}$

Этап 1.2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{x}{e} = 1$ .

$\frac{x}{e} = 1$

Этап 1.2.4.2

Умножим обе части уравнения на $e$ .

$e \frac{x}{e} = e \cdot 1$

Этап 1.2.4.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1.1

Сократим общий множитель $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$e \frac{x}{e} = e \cdot 1$

Этап 1.2.4.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = e \cdot 1$

Этап 1.2.4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.2.1

Умножим $e$ на $1$ .

$x = e$

Этап 1.3

Подставим $e$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(e, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x - \int_{1}^{e} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $1$ и $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $\frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{e} d x$

Этап 3.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{e} d x$

Этап 3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + - \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$

Этап 3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Объединим $\ln (| x |)]_{1}^{e}$ и $- \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$ .

$\ln (| x |) - \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$

Этап 3.6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Найдем значение $\ln (| x |) - \frac{1}{e} x$ в $e$ и в $1$ .

$(\ln (| e |) - \frac{1}{e} e) - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Этап 3.6.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Объединим $e$ и $\frac{1}{e}$ .

$\ln (| e |) - \frac{e}{e} - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Этап 3.6.2.2.2

Сократим общий множитель $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| e |) - \frac{e}{e} - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Этап 3.6.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| e |) - 1 \cdot 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Этап 3.6.2.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (| e |) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Этап 3.6.2.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (| e |) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

$e$ приблизительно равно $2.71828182$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\ln (e) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

Этап 3.7.1.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$1 - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

Этап 3.7.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.3.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$1 - 1 - (\ln (1) - \frac{1}{e})$

Этап 3.7.1.3.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$1 - 1 - (0 - \frac{1}{e})$

Этап 3.7.1.4

Вычтем $\frac{1}{e}$ из $0$ .

$1 - 1 - - \frac{1}{e}$

Этап 3.7.1.5

Умножим $- - \frac{1}{e}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 - 1 + 1 \frac{1}{e}$

Этап 3.7.1.5.2

Умножим $\frac{1}{e}$ на $1$ .

$1 - 1 + \frac{1}{e}$

Этап 3.7.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$0 + \frac{1}{e}$

Этап 3.7.3

Добавим $0$ и $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Этап 4

$A r e a = \int_{e}^{e^{3}} 0 d x - \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x$

Этап 5

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $e$ и $e^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{e}^{e^{3}} 0 - (\frac{1}{x} - \frac{1}{e}) d x$

Этап 5.2

Вычтем $\frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ из $0$ .

$\int_{e}^{e^{3}} - (\frac{1}{x} - \frac{1}{e}) d x$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{e}^{e^{3}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{e} d x$

Этап 5.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{e}^{e^{3}} - \frac{1}{x} d x + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

Этап 5.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{x} d x + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

Этап 5.6

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |)]_{e}^{e^{3}}) + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

Этап 5.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\ln (| x |)]_{e}^{e^{3}}) + \frac{1}{e} x]_{e}^{e^{3}}$

Этап 5.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1.1

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $e^{3}$ и в $e$ .

$- ((\ln (| e^{3} |)) - \ln (| e |)) + \frac{1}{e} x]_{e}^{e^{3}}$

Этап 5.8.1.2

Найдем значение $\frac{1}{e} x$ в $e^{3}$ и в $e$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{1}{e} e^{3} - \frac{1}{e} e$

Этап 5.8.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1.3.1

Объединим $\frac{1}{e}$ и $e^{3}$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e^{3}}{e} - \frac{1}{e} e$

Этап 5.8.1.3.2

Сократим общий множитель $e^{3}$ и $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1.3.2.1

Вынесем множитель $e$ из $e^{3}$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e} - \frac{1}{e} e$

Этап 5.8.1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1.3.2.2.1

Умножим на $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e \cdot 1} - \frac{1}{e} e$

Этап 5.8.1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e \cdot 1} - \frac{1}{e} e$

Этап 5.8.1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e^{2}}{1} - \frac{1}{e} e$

Этап 5.8.1.3.2.2.4

Разделим $e^{2}$ на $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{1}{e} e$

Этап 5.8.1.3.3

Объединим $e$ и $\frac{1}{e}$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{e}{e}$

Этап 5.8.1.3.4

Сократим общий множитель $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{e}{e}$

Этап 5.8.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - 1 \cdot 1$

Этап 5.8.1.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - 1$

Этап 5.8.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| e^{3} |}{| e |}) + e^{2} - 1$

Этап 5.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.1

$e^{3}$ приблизительно равно $20.08553692$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$- \ln (\frac{e^{3}}{| e |}) + e^{2} - 1$

Этап 5.8.3.2

$e$ приблизительно равно $2.71828182$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$- \ln (\frac{e^{3}}{e}) + e^{2} - 1$

Этап 5.8.3.3

Сократим общий множитель $e^{3}$ и $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.3.1

Вынесем множитель $e$ из $e^{3}$ .

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e}) + e^{2} - 1$

Этап 5.8.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.3.2.1

Умножим на $1$ .

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e \cdot 1}) + e^{2} - 1$

Этап 5.8.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e \cdot 1}) + e^{2} - 1$

Этап 5.8.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \ln (\frac{e^{2}}{1}) + e^{2} - 1$

Этап 5.8.3.3.2.4

Разделим $e^{2}$ на $1$ .

$- \ln (e^{2}) + e^{2} - 1$

Этап 5.8.3.4

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $2$ из степени.

$- (2 \ln (e)) + e^{2} - 1$

Этап 5.8.3.5

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$- (2 \cdot 1) + e^{2} - 1$

Этап 5.8.3.6

Умножим $2$ на $1$ .

$- 1 \cdot 2 + e^{2} - 1$

Этап 5.8.3.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 + e^{2} - 1$

Этап 5.8.3.8

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$e^{2} - 3$

Этап 6