Математический анализ Примеры

$\sum_{1}^{3} \frac{1}{2} j (2 j^{2} + 3 j + 5)$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \cdot (j (2 j^{2}) + j (3 j) + j \cdot 5)$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{2} \cdot (2 j \cdot j^{2} + j (3 j) + j \cdot 5)$

Этап 1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{2} \cdot (2 j \cdot j^{2} + 3 j \cdot j + j \cdot 5)$

Этап 1.2.3

Перенесем $5$ влево от $j$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 j \cdot j^{2} + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

Этап 1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $j$ на $j^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перенесем $j^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (j^{2} j) + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

Этап 1.3.1.2

Умножим $j^{2}$ на $j$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Возведем $j$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (j^{2} j^{1}) + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

Этап 1.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{2 + 1} + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

Этап 1.3.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{3} + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

Этап 1.3.2

Умножим $j$ на $j$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Перенесем $j$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{3} + 3 (j \cdot j) + 5 \cdot j)$

Этап 1.3.2.2

Умножим $j$ на $j$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{3} + 3 j^{2} + 5 \cdot j)$

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{3} + 3 j^{2} + 5 j)$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (2 j^{3}) + \frac{1}{2} (3 j^{2}) + \frac{1}{2} (5 j)$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 j^{3}$ .

$\frac{1}{2} (2 (j^{3})) + \frac{1}{2} (3 j^{2}) + \frac{1}{2} (5 j)$

Этап 1.5.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (2 j^{3}) + \frac{1}{2} (3 j^{2}) + \frac{1}{2} (5 j)$

Этап 1.5.1.3

Перепишем это выражение.

$j^{3} + \frac{1}{2} (3 j^{2}) + \frac{1}{2} (5 j)$

Этап 1.5.2

Умножим $\frac{1}{2} (3 j^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$j^{3} + \frac{3}{2} j^{2} + \frac{1}{2} (5 j)$

Этап 1.5.2.2

Объединим $\frac{3}{2}$ и $j^{2}$ .

$j^{3} + \frac{3 j^{2}}{2} + \frac{1}{2} (5 j)$

Этап 1.5.3

Умножим $\frac{1}{2} (5 j)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{2}$ .

$j^{3} + \frac{3 j^{2}}{2} + \frac{5}{2} j$

Этап 1.5.3.2

Объединим $\frac{5}{2}$ и $j$ .

$j^{3} + \frac{3 j^{2}}{2} + \frac{5 j}{2}$

Этап 1.6

Переделаем суммирование.

$\sum_{j = 1}^{3} j^{3} + \frac{3 j^{2}}{2} + \frac{5 j}{2}$

Этап 2

Формула суммирования многочлена степени $3$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Этап 3

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(\frac{1}{2} + 5) (\frac{3^{2} {(3 + 1)}^{2}}{4})$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Добавим $3$ и $1$ .

$(\frac{1}{2} + 5) \frac{3^{2} \cdot 4^{2}}{4}$

Этап 4.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$(\frac{1}{2} + 5) \frac{9 \cdot 4^{2}}{4}$

Этап 4.1.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$(\frac{1}{2} + 5) \frac{9 \cdot 16}{4}$

Этап 4.2

Умножим $9$ на $16$ .

$(\frac{1}{2} + 5) \frac{144}{4}$

Этап 4.3

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$(\frac{1}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}) \frac{144}{4}$

Этап 4.4

Объединим $5$ и $\frac{2}{2}$ .

$(\frac{1}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}) \frac{144}{4}$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 5 \cdot 2}{2} \cdot \frac{144}{4}$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{1 + 10}{2} \cdot \frac{144}{4}$

Этап 4.6.2

Добавим $1$ и $10$ .

$\frac{11}{2} \cdot \frac{144}{4}$

Этап 4.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем множитель $2$ из $144$ .

$\frac{11}{2} \cdot \frac{2 (72)}{4}$

Этап 4.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{11}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{4}$

Этап 4.7.3

Перепишем это выражение.

$11 (\frac{72}{4})$

Этап 4.8

Объединим $11$ и $\frac{72}{4}$ .

$\frac{11 \cdot 72}{4}$

Этап 4.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Умножим $11$ на $72$ .

$\frac{792}{4}$

Этап 4.9.2

Разделим $792$ на $4$ .

$198$