Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 e^{x} - 3$ ; $[- 4, 3]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$4 e^{x} - 3 = 0$

Этап 1.2

Решим $4 e^{x} - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$4 e^{x} = 3$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $4 e^{x} = 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $4 e^{x} = 3$ на $4$ .

$\frac{4 e^{x}}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 e^{x}}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $e^{x}$ на $1$ .

$e^{x} = \frac{3}{4}$

Этап 1.2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3}{4})$

Этап 1.2.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3}{4})$

Этап 1.2.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3}{4})$

Этап 1.2.4.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (\frac{3}{4})$

Этап 1.3

Подставим $\ln (\frac{3}{4})$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(\ln (\frac{3}{4}), 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 0 d x - \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 4 e^{x} - 3 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 4$ и $\ln (\frac{3}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 0 - (4 e^{x} - 3) d x$

Этап 3.2

Вычтем $4 e^{x} - 3$ из $0$ .

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - (4 e^{x} - 3) d x$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - (4 e^{x}) + 3 d x$

Этап 3.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 e^{x} - - 3$

Этап 3.4.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$- 4 e^{x} + 3$

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - 4 e^{x} + 3 d x$

Этап 3.5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - 4 e^{x} d x + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

Этап 3.6

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$- 4 \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} e^{x} d x + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

Этап 3.7

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$- 4 (e^{x}]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}) + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

Этап 3.8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 4 (e^{x}]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 x]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}$

Этап 3.9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Найдем значение $e^{x}$ в $\ln (\frac{3}{4})$ и в $- 4$ .

$- 4 ((e^{\ln (\frac{3}{4})}) - e^{- 4}) + 3 x]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}$

Этап 3.9.2

Найдем значение $3 x$ в $\ln (\frac{3}{4})$ и в $- 4$ .

$- 4 (e^{\ln (\frac{3}{4})} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) - 3 \cdot - 4$

Этап 3.9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$- 4 (\frac{3}{4} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) - 3 \cdot - 4$

Этап 3.9.3.2

Умножим $- 3$ на $- 4$ .

$- 4 (\frac{3}{4} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Этап 3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (\frac{3}{4} - \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Этап 3.10.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 (\frac{3}{4}) - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Этап 3.10.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{3}{4} - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Этап 3.10.1.3.2

Сократим общий множитель.

$4 \cdot - 1 \frac{3}{4} - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Этап 3.10.1.3.3

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 3 - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Этап 3.10.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Этап 3.10.1.5

Умножим $- 4 (- \frac{1}{e^{4}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$- 3 + 4 \frac{1}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Этап 3.10.1.5.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{e^{4}}$ .

$- 3 + \frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Этап 3.10.2

Добавим $- 3$ и $12$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 9$

Этап 4

$A r e a = \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 d x - \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 0 d x$

Этап 5

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $\ln (\frac{3}{4})$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $\ln (\frac{3}{4})$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 0 - (4 e^{x} - 3) d x$

Этап 5.1.2

Вычтем $4 e^{x} - 3$ из $0$ .

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - (4 e^{x} - 3) d x$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - (4 e^{x}) + 3 d x$

Этап 5.1.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 e^{x} - - 3$

Этап 5.1.4.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$- 4 e^{x} + 3$

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 4 e^{x} + 3 d x$

Этап 5.1.5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 4 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

Этап 5.1.6

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$- 4 \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

Этап 5.1.7

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$- 4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

Этап 5.1.8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Этап 5.1.9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.1

Найдем значение $e^{x}$ в $3$ и в $\ln (\frac{3}{4})$ .

$- 4 ((e^{3}) - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Этап 5.1.9.2

Найдем значение $3 x$ в $3$ и в $\ln (\frac{3}{4})$ .

$- 4 (e^{3} - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 \cdot 3 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Этап 5.1.9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.3.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$- 4 (e^{3} - \frac{3}{4}) + 3 \cdot 3 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Этап 5.1.9.3.2

Умножим $3$ на $3$ .

$- 4 (e^{3} - \frac{3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Этап 5.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.10.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 e^{3} - 4 (- \frac{3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Этап 5.1.10.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.10.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{4}$ в числитель.

$- 4 e^{3} - 4 (\frac{- 3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Этап 5.1.10.1.2.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$- 4 e^{3} + 4 (- 1) \frac{- 3}{4} + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Этап 5.1.10.1.2.3

Сократим общий множитель.

$- 4 e^{3} + 4 \cdot - 1 \frac{- 3}{4} + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Этап 5.1.10.1.2.4

Перепишем это выражение.

$- 4 e^{3} - - 3 + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Этап 5.1.10.1.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$- 4 e^{3} + 3 + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Этап 5.1.10.2

Добавим $3$ и $9$ .

$- 4 e^{3} + 12 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Этап 5.2

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 - (0) d x$

Этап 5.3

Вычтем $0$ из $4 e^{x} - 3$ .

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 d x$

Этап 5.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

Этап 5.5

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

Этап 5.6

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

Этап 5.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + - 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Этап 5.8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Найдем значение $e^{x}$ в $3$ и в $\ln (\frac{3}{4})$ .

$4 ((e^{3}) - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + - 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Этап 5.8.2

Найдем значение $- 3 x$ в $3$ и в $\ln (\frac{3}{4})$ .

$4 (e^{3} - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + - 3 \cdot 3 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Этап 5.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$4 (e^{3} - \frac{3}{4}) - 3 \cdot 3 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Этап 5.8.3.2

Умножим $- 3$ на $3$ .

$4 (e^{3} - \frac{3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Этап 5.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 e^{3} + 4 (- \frac{3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Этап 5.9.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{4}$ в числитель.

$4 e^{3} + 4 (\frac{- 3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Этап 5.9.1.2.2

Сократим общий множитель.

$4 e^{3} + 4 (\frac{- 3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Этап 5.9.1.2.3

Перепишем это выражение.

$4 e^{3} - 3 - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Этап 5.9.2

Вычтем $9$ из $- 3$ .

$4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Этап 6

Сложим площади $\frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Упростим $3 \ln (\frac{3}{4})$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln ({(\frac{3}{4})}^{3}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Этап 6.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{3^{3}}{4^{3}}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Этап 6.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{4^{3}}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Этап 6.1.4

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Этап 6.1.5

Упростим $3 \ln (\frac{3}{4})$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln ({(\frac{3}{4})}^{3})$

Этап 6.1.6

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{3^{3}}{4^{3}})$

Этап 6.1.7

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{4^{3}})$

Этап 6.1.8

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{64})$

Этап 6.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{64} \cdot \frac{27}{64})$

Этап 6.3

Умножим $\frac{27}{64} \cdot \frac{27}{64}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{27}{64}$ на $\frac{27}{64}$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27 \cdot 27}{64 \cdot 64})$

Этап 6.3.2

Умножим $27$ на $27$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{729}{64 \cdot 64})$

Этап 6.3.3

Умножим $64$ на $64$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{729}{4096})$

Этап 6.4

Вычтем $12$ из $9$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 4 e^{3} - 3 + \ln (\frac{729}{4096})$

Этап 7