Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{6}{8 x - 1}$ , $[4, 8]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\frac{6}{8 x - 1} = 0$

Этап 1.2

Решим $\frac{6}{8 x - 1} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Приравняем числитель к нулю.

$6 = 0$

Этап 1.2.2

Поскольку $6 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} d x - \int_{4}^{8} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $\frac{6}{8 x - 1}$ .

$\int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} d x$

Этап 3.3

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int_{4}^{8} \frac{1}{8 x - 1} d x$

Этап 3.4

Пусть $u = 8 x - 1$ . Тогда $d u = 8 d x$ , следовательно $\frac{1}{8} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Пусть $u = 8 x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Дифференцируем $8 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [8 x - 1]$

Этап 3.4.1.2

По правилу суммы производная $8 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.4.1.3.3

Умножим $8$ на $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 + 0$

Этап 3.4.1.4.2

Добавим $8$ и $0$ .

$8$

Этап 3.4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 8 x - 1$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 4 - 1$

Этап 3.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Умножим $8$ на $4$ .

$u_{lower} = 32 - 1$

Этап 3.4.3.2

Вычтем $1$ из $32$ .

$u_{lower} = 31$

Этап 3.4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 8 x - 1$ .

$u_{upper} = 8 \cdot 8 - 1$

Этап 3.4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Умножим $8$ на $8$ .

$u_{upper} = 64 - 1$

Этап 3.4.5.2

Вычтем $1$ из $64$ .

$u_{upper} = 63$

Этап 3.4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 31$

$u_{upper} = 63$

Этап 3.4.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{8}$ .

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Этап 3.5.2

Перенесем $8$ влево от $u$ .

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{8 u} d u$

Этап 3.6

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{1}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u)$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Объединим $\frac{1}{8}$ и $6$ .

$\frac{6}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Этап 3.7.2

Сократим общий множитель $6$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (3)}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Этап 3.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Этап 3.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Этап 3.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Этап 3.8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{3}{4} \ln (| u |)]_{31}^{63}$

Этап 3.9

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $63$ и в $31$ .

$\frac{3}{4} (\ln (| 63 |) - \ln (| 31 |))$

Этап 3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{3}{4} \ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})$

Этап 3.10.2

Объединим $\frac{3}{4}$ и $\ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})$ .

$\frac{3 \ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})}{4}$

Этап 3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $63$ равно $63$ .

$\frac{3 \ln (\frac{63}{| 31 |})}{4}$

Этап 3.11.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $31$ равно $31$ .

$\frac{3 \ln (\frac{63}{31})}{4}$

Этап 4

Сложим площади $\frac{3 \ln (\frac{63}{31})}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $3 \ln (\frac{63}{31})$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\frac{\ln ({(\frac{63}{31})}^{3})}{4}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило умножения к $\frac{63}{31}$ .

$\frac{\ln (\frac{63^{3}}{31^{3}})}{4}$

Этап 4.2.2

Возведем $63$ в степень $3$ .

$\frac{\ln (\frac{250047}{31^{3}})}{4}$

Этап 4.2.3

Возведем $31$ в степень $3$ .

$\frac{\ln (\frac{250047}{29791})}{4}$

Этап 4.3

Перепишем $\frac{\ln (\frac{250047}{29791})}{4}$ в виде $\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$

Этап 4.4

Упростим $\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$ путем переноса $\frac{1}{4}$ под логарифм.

$\ln ({(\frac{250047}{29791})}^{\frac{1}{4}})$

Этап 4.5

Применим правило умножения к $\frac{250047}{29791}$ .

$\ln (\frac{250047^{\frac{1}{4}}}{29791^{\frac{1}{4}}})$

Этап 5