Математический анализ Примеры

$x = 4 t - 1$ , $y = 2 t^{2} + 3 t - 4$

Этап 1

Составим параметрическое уравнение для $x (t)$ , чтобы решить это уравнение в отношении $t$ .

$x = 4 t - 1$

Этап 2

Перепишем уравнение в виде $4 t - 1 = x$ .

$4 t - 1 = x$

Этап 3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 t = x + 1$

Этап 4

Разделим каждый член $4 t = x + 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $4 t = x + 1$ на $4$ .

$\frac{4 t}{4} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 t}{4} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 5

Заменим $t$ в уравнении на $y$ , чтобы получить уравнение, выраженное через $x$ .

$y = 2 {(\frac{x}{4} + \frac{1}{4})}^{2} + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6

Упростим $2 {(\frac{x}{4} + \frac{1}{4})}^{2} + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем ${(\frac{x}{4} + \frac{1}{4})}^{2}$ в виде $(\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{x}{4} + \frac{1}{4})$ .

$y = 2 ((\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{x}{4} + \frac{1}{4})) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.2

Развернем $(\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{x}{4} + \frac{1}{4})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 (\frac{x}{4} (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} (\frac{x}{4} + \frac{1}{4})) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 (\frac{x}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} (\frac{x}{4} + \frac{1}{4})) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 (\frac{x}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1.1

Умножим $\frac{x}{4} \cdot \frac{x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1.1.1

Умножим $\frac{x}{4}$ на $\frac{x}{4}$ .

$y = 2 (\frac{x \cdot x}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.3.1.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = 2 (\frac{x^{1} x}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.3.1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = 2 (\frac{x^{1} x^{1}}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.3.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = 2 (\frac{x^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.3.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.3.1.1.6

Умножим $4$ на $4$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.3.1.2

Умножим $\frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1.2.1

Умножим $\frac{x}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{4 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.3.1.2.2

Умножим $4$ на $4$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.3.1.3

Умножим $\frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1.3.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{x}{4}$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{16} + \frac{x}{4 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.3.1.3.2

Умножим $4$ на $4$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{16} + \frac{x}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.3.1.4

Умножим $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1.4.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{16} + \frac{x}{16} + \frac{1}{4 \cdot 4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.3.1.4.2

Умножим $4$ на $4$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{16} + \frac{x}{16} + \frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.3.2

Добавим $\frac{x}{16}$ и $\frac{x}{16}$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + 2 \frac{x}{16} + \frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + 2 \frac{x}{2 (8)} + \frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.4.2

Сократим общий множитель.

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + 2 \frac{x}{2 \cdot 8} + \frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.4.3

Перепишем это выражение.

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{8} + \frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 \frac{x^{2}}{16} + 2 \frac{x}{8} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$y = 2 \frac{x^{2}}{2 (8)} + 2 \frac{x}{8} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.6.1.2

Сократим общий множитель.

$y = 2 \frac{x^{2}}{2 \cdot 8} + 2 \frac{x}{8} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.6.1.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{8} + 2 \frac{x}{8} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + 2 \frac{x}{2 (4)} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2}}{8} + 2 \frac{x}{2 \cdot 4} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.6.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.3.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 2 \frac{1}{2 (8)} + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.6.3.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 2 \frac{1}{2 \cdot 8} + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.6.3.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8} + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8} + 3 \frac{x}{4} + 3 (\frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.8

Объединим $3$ и $\frac{x}{4}$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8} + \frac{3 x}{4} + 3 (\frac{1}{4}) - 4$

Этап 6.1.9

Объединим $3$ и $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8} + \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} - 4$

Этап 6.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - 4 + \frac{x^{2}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{x + 3 x + 3}{4}$

Этап 6.2.2

Добавим $x$ и $3 x$ .

$y = - 4 + \frac{x^{2}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Этап 6.3

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} - 4 \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Этап 6.4

Объединим $- 4$ и $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 4 \cdot 8}{8} + \frac{1}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Этап 6.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 4 \cdot 8 + 1}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Этап 6.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Умножим $- 4$ на $8$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 32 + 1}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Этап 6.6.2

Добавим $- 32$ и $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 31}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Этап 6.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x^{2}}{8} - \frac{31}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Этап 6.8

Чтобы записать $\frac{4 x + 3}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{4 x + 3}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{31}{8}$

Этап 6.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Умножим $\frac{4 x + 3}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{(4 x + 3) \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{31}{8}$

Этап 6.9.2

Умножим $4$ на $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{(4 x + 3) \cdot 2}{8} - \frac{31}{8}$

Этап 6.10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x^{2} + (4 x + 3) \cdot 2}{8} - \frac{31}{8}$

Этап 6.10.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x^{2} + (4 x + 3) \cdot 2 - 31}{8}$

Этап 6.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x^{2} + 4 x \cdot 2 + 3 \cdot 2 - 31}{8}$

Этап 6.11.2

Умножим $2$ на $4$ .

$y = \frac{x^{2} + 8 x + 3 \cdot 2 - 31}{8}$

Этап 6.11.3

Умножим $3$ на $2$ .

$y = \frac{x^{2} + 8 x + 6 - 31}{8}$

Этап 6.12

Вычтем $31$ из $6$ .

$y = \frac{x^{2} + 8 x - 25}{8}$