Математический анализ Примеры

$a = π r \sqrt{r^{2} + h^{2}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{r^{2} + h^{2}}$ в виде ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$a = π r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d h} (a) = \frac{d}{d h} (π r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Поскольку $a$ является константой относительно $h$ , производная $a$ относительно $h$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $π$ является константой относительно $h$ , производная $π r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ по $h$ равна $π \frac{d}{d h} [r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$π \frac{d}{d h} [r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ имеет вид $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ , где $f (h) = r$ и $g (h) = {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$π (r \frac{d}{d h} [{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ имеет вид $f' (g (h)) g' (h)$ , где $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ и $g (h) = r^{2} + h^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $r^{2} + h^{2}$ .

$π (r (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$π (r (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Этап 4.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $r^{2} + h^{2}$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Этап 4.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Этап 4.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Этап 4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Этап 4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Этап 4.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Этап 4.8

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Этап 4.8.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(r^{2} + h^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$π (r (\frac{{(r^{2} + h^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Этап 4.8.2.2

Перенесем ${(r^{2} + h^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$π (r (\frac{1}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Этап 4.8.2.3

Объединим $\frac{1}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $r$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}] + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Этап 4.8.3

По правилу суммы производная $r^{2} + h^{2}$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [r^{2}] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d h} [r^{2}] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Этап 4.9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $r$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d h} [r] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Этап 4.9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d h} [r] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Этап 4.9.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $r$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r \frac{d}{d h} [r] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Этап 4.10

Перепишем $\frac{d}{d h} [r]$ в виде $r'$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Этап 4.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + 2 h) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Этап 4.12

Перепишем $\frac{d}{d h} [r]$ в виде $r'$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + 2 h) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r')$

Этап 4.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + 2 h)) + π ({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r')$

Этап 4.13.2

Объединим $\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $π$ .

$\frac{r π}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + 2 h) + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Этап 4.13.3

Изменим порядок членов.

$(2 r r' + 2 h) \frac{r π}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Этап 4.13.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.4.1

Умножим $2 r r' + 2 h$ на $\frac{r π}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(2 r r' + 2 h) (r π)}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Этап 4.13.4.2

Вынесем множитель $2$ из $(2 r r' + 2 h) (r π)$ .

$\frac{2 ((r r' + h) (r π))}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Этап 4.13.4.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 ((r r' + h) (r π))}{2 ({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}})} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Этап 4.13.4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 ((r r' + h) (r π))}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Этап 4.13.4.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(r r' + h) (r π)}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

$\frac{(r r' + h) r π}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Этап 4.13.5

Чтобы записать $π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(r r' + h) r π}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.13.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(r r' + h) r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.13.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(r r' r + h r) π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.13.7.2

Умножим $r$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.7.2.1

Перенесем $r$ .

$\frac{(r \cdot r r' + h r) π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.13.7.2.2

Умножим $r$ на $r$ .

$\frac{(r^{2} r' + h r) π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.13.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.13.7.4

Умножим ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.7.4.1

Перенесем ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π ({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}) r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.13.7.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.13.7.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.13.7.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{2}{2}} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.13.7.4.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{1} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.13.7.5

Упростим $π {(r^{2} + h^{2})}^{1} r'$ .

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π (r^{2} + h^{2}) r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.13.7.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + (π r^{2} + π h^{2}) r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.13.7.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π r^{2} r' + π h^{2} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.13.7.8

Добавим $r^{2} r' π$ и $π r^{2} r'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.7.8.1

Изменим порядок $r^{2}$ и $π$ .

$\frac{π r^{2} r' + π r^{2} r' + h r π + π h^{2} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.13.7.8.2

Добавим $π r^{2} r'$ и $π r^{2} r'$ .

$\frac{2 π r^{2} r' + h r π + π h^{2} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$0 = \frac{2 π r^{2} r' + h r π + π h^{2} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Решим относительно $r'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем числитель к нулю.

$2 π r^{2} r' + h r π + π h^{2} r' = 0$

Этап 6.2

Решим уравнение относительно $r'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $h r π$ из обеих частей уравнения.

$2 π r^{2} r' + π h^{2} r' = - h r π$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $π r'$ из $2 π r^{2} r' + π h^{2} r'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем множитель $π r'$ из $2 π r^{2} r'$ .

$π r' (2 r^{2}) + π h^{2} r' = - h r π$

Этап 6.2.2.2

Вынесем множитель $π r'$ из $π h^{2} r'$ .

$π r' (2 r^{2}) + π r' h^{2} = - h r π$

Этап 6.2.2.3

Вынесем множитель $π r'$ из $π r' (2 r^{2}) + π r' h^{2}$ .

$π r' (2 r^{2} + h^{2}) = - h r π$

Этап 6.2.3

Разделим каждый член $π r' (2 r^{2} + h^{2}) = - h r π$ на $π (2 r^{2} + h^{2})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Разделим каждый член $π r' (2 r^{2} + h^{2}) = - h r π$ на $π (2 r^{2} + h^{2})$ .

$\frac{π r' (2 r^{2} + h^{2})}{π (2 r^{2} + h^{2})} = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Этап 6.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π r' (2 r^{2} + h^{2})}{π (2 r^{2} + h^{2})} = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Этап 6.2.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{r' (2 r^{2} + h^{2})}{2 r^{2} + h^{2}} = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Этап 6.2.3.2.2

Сократим общий множитель $2 r^{2} + h^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{r' (2 r^{2} + h^{2})}{2 r^{2} + h^{2}} = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Этап 6.2.3.2.2.2

Разделим $r'$ на $1$ .

$r' = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Этап 6.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.3.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$r' = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Этап 6.2.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$r' = \frac{- h r}{2 r^{2} + h^{2}}$

Этап 6.2.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$r' = - \frac{h r}{2 r^{2} + h^{2}}$

Этап 7

Заменим $r'$ на $\frac{d r}{d h}$ .

$\frac{d r}{d h} = - \frac{h r}{2 r^{2} + h^{2}}$