Математический анализ Примеры

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16 θ - 8 π}{\cos (2 π - θ)}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 16 θ - 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $θ$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 16 θ - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Этап 1.2.1.2

Вынесем член $16$ из-под знака предела, так как он не зависит от $θ$ .

$\frac{16 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Этап 1.2.1.3

Найдем предел $8 π$ , который является константой по мере приближения $θ$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{16 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ - 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $θ$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $θ$ .

$\frac{16 \frac{π}{2} - 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{2 (8) \frac{π}{2} - 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Этап 1.2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 8 \frac{π}{2} - 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Этап 1.2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8 π - 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $8 π$ из $8 π$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 π - θ)}$

Этап 1.3.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $θ$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 π - lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Этап 1.3.1.3

Найдем предел $2 π$ , который является константой по мере приближения $θ$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{\cos (2 π - lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $θ$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $θ$ .

$\frac{0}{\cos (2 π - \frac{π}{2})}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{0}{\cos (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})}$

Этап 1.3.3.2

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})}$

Этап 1.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{0}{\cos (\frac{2 π \cdot 2 - π}{2})}$

Этап 1.3.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{4 π - π}{2})}$

Этап 1.3.3.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{3 π}{2})}$

Этап 1.3.3.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2})}$

Этап 1.3.3.6

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16 θ - 8 π}{\cos (2 π - θ)} = lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [16 θ - 8 π]}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [16 θ - 8 π]}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $16 θ - 8 π$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [16 θ] + \frac{d}{d θ} [- 8 π]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [16 θ] + \frac{d}{d θ} [- 8 π]}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [16 θ]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $16$ является константой относительно $θ$ , производная $16 θ$ по $θ$ равна $16 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16 \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [- 8 π]}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16 \cdot 1 + \frac{d}{d θ} [- 8 π]}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Этап 3.3.3

Умножим $16$ на $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16 + \frac{d}{d θ} [- 8 π]}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Этап 3.4

Поскольку $- 8 π$ является константой относительно $θ$ , производная $- 8 π$ относительно $θ$ равна $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16 + 0}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Этап 3.5

Добавим $16$ и $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ имеет вид $f' (g (θ)) g' (θ)$ , где $f (θ) = \cos (θ)$ и $g (θ) = 2 π - θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 π - θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [2 π - θ]}$

Этап 3.6.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{- \sin (u) \frac{d}{d θ} [2 π - θ]}$

Этап 3.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 π - θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{- \sin (2 π - θ) \frac{d}{d θ} [2 π - θ]}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $2 π - θ$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [2 π] + \frac{d}{d θ} [- θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{- \sin (2 π - θ) (\frac{d}{d θ} [2 π] + \frac{d}{d θ} [- θ])}$

Этап 3.8

Поскольку $2 π$ является константой относительно $θ$ , производная $2 π$ относительно $θ$ равна $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{- \sin (2 π - θ) (0 + \frac{d}{d θ} [- θ])}$

Этап 3.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d θ} [- θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{- \sin (2 π - θ) \frac{d}{d θ} [- θ]}$

Этап 3.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $θ$ , производная $- θ$ по $θ$ равна $- \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{- \sin (2 π - θ) (- \frac{d}{d θ} [θ])}$

Этап 3.11

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{1 \sin (2 π - θ) \frac{d}{d θ} [θ]}$

Этап 3.12

Умножим $\sin (2 π - θ)$ на $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{\sin (2 π - θ) \frac{d}{d θ} [θ]}$

Этап 3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{\sin (2 π - θ) \cdot 1}$

Этап 3.14

Умножим $\sin (2 π - θ)$ на $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{\sin (2 π - θ)}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $16$ из-под знака предела, так как он не зависит от $θ$ .

$16 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{1}{\sin (2 π - θ)}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $θ$ к $\frac{π}{2}$ .

$16 \frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 π - θ)}$

Этап 4.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $θ$ к $\frac{π}{2}$ .

$16 \frac{1}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 π - θ)}$

Этап 4.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$16 \frac{1}{\sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 π - θ)}$

Этап 4.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $θ$ к $\frac{π}{2}$ .

$16 \frac{1}{\sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 π - lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Этап 4.6

Найдем предел $2 π$ , который является константой по мере приближения $θ$ к $\frac{π}{2}$ .

$16 \frac{1}{\sin (2 π - lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Этап 5

Найдем предел $θ$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $θ$ .

$16 \frac{1}{\sin (2 π - \frac{π}{2})}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Переведем $\frac{1}{\sin (2 π - \frac{π}{2})}$ в $\csc (2 π - \frac{π}{2})$ .

$16 \csc (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$16 \csc (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 6.3

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$16 \csc (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$16 \csc (\frac{2 π \cdot 2 - π}{2})$

Этап 6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$16 \csc (\frac{4 π - π}{2})$

Этап 6.5.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$16 \csc (\frac{3 π}{2})$

Этап 6.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Сделаем выражение отрицательным, поскольку косеканс отрицателен в четвертом квадранте.

$16 (- \csc (\frac{π}{2}))$

Этап 6.7

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$16 (- 1 \cdot 1)$

Этап 6.8

Умножим $16 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$16 \cdot - 1$

Этап 6.8.2

Умножим $16$ на $- 1$ .

$- 16$