Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} {(1 + 2 x)}^{\frac{7}{2 \ln (x)}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(1 + 2 x)}^{\frac{7}{2 \ln (x)}}$ в виде $e^{\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{7}{2 \ln (x)}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{7}{2 \ln (x)}})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{7}{2 \ln (x)}})$ , вынося $\frac{7}{2 \ln (x)}$ из логарифма.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{7}{2 \ln (x)} \ln (1 + 2 x)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{7}{2 \ln (x)} \ln (1 + 2 x)}$

Этап 2.2

Объединим $\frac{7}{2 \ln (x)}$ и $\ln (1 + 2 x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{7 \ln (1 + 2 x)}{2 \ln (x)}}$

Этап 2.3

Вынесем член $\frac{7}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 2 x)}{\ln (x)}}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{\frac{7}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + 2 x)}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}}$

Этап 3.1.2

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}}$

Этап 3.1.3

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}}$

Этап 3.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{7}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 2 x)}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 1 + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + 2 x$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Этап 3.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + 2 x$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Этап 3.3.3

По правилу суммы производная $1 + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Этап 3.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Этап 3.3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Этап 3.3.6

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Этап 3.3.7

Объединим $2$ и $\frac{1}{1 + 2 x}$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Этап 3.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{1 + 2 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Этап 3.3.9

Умножим $\frac{2}{1 + 2 x}$ на $1$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{1 + 2 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Этап 3.3.10

Изменим порядок членов.

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{2 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Этап 3.3.11

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{2 x + 1}}{\frac{1}{x}}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2}{2 x + 1} x}$

Этап 3.5

Объединим $\frac{2}{2 x + 1}$ и $x$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x + 1}}$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 x + 1}}$

Этап 5

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Этап 6.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Этап 6.2.2

Разделим $2$ на $1$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}}$

Этап 6.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}}$

Этап 6.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}}$

Этап 6.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 6.6

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{1}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 7

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{1}{2 + 0}}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{1}{2 + 0}}$

Этап 8.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{7 \frac{1}{2 + 0}}$

Этап 8.2

Добавим $2$ и $0$ .

$e^{7 (\frac{1}{2})}$

Этап 8.3

Объединим $7$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{7}{2}}$