Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{3 π}{2} + x) - \cos (\frac{3 π}{2})}{x}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (\frac{3 π}{2} + x) - \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (\frac{3 π}{2} + x) - lim_{x \to 0} \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} \frac{3 π}{2} + x) - lim_{x \to 0} \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} \frac{3 π}{2} + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.1.4

Найдем предел $\frac{3 π}{2}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\cos (\frac{3 π}{2} + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.1.5

Найдем предел $\cos (\frac{3 π}{2})$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\cos (\frac{3 π}{2} + lim_{x \to 0} x) - \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\cos (\frac{3 π}{2} + 0) - \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Добавим $\frac{3 π}{2}$ и $0$ .

$\frac{\cos (\frac{3 π}{2}) - \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.3.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{\cos (\frac{π}{2}) - \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.3.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{0 - \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.3.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{0 - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.3.1.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.3.1.6

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{3 π}{2} + x) - \cos (\frac{3 π}{2})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 π}{2} + x) - \cos (\frac{3 π}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 π}{2} + x) - \cos (\frac{3 π}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 π}{2} + x) - \cos (\frac{π}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 π}{2} + x) - 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $\cos (\frac{3 π}{2} + x) - 0$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 π}{2} + x)] + \frac{d}{d x} [- 0]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 π}{2} + x)] + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 π}{2} + x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \frac{3 π}{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{3 π}{2} + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 π}{2} + x] + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.5.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{3 π}{2} + x] + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.5.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{3 π}{2} + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x) \frac{d}{d x} [\frac{3 π}{2} + x] + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.5.2

По правилу суммы производная $\frac{3 π}{2} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{3 π}{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x) (\frac{d}{d x} [\frac{3 π}{2}] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.5.3

Поскольку $\frac{3 π}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 π}{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x) (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.5.5

Добавим $0$ и $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.5.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 0]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x) + \frac{d}{d x} [0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.6.2

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x) + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.7

Добавим $- \sin (\frac{3 π}{2} + x)$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x)}{1}$

Этап 4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + x \cdot \frac{2}{2})}{1}$

Этап 4.2

Объединим $x$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π}{2} + \frac{x \cdot 2}{2})}{1}$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{3 π + x \cdot 2}{2})}{1}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим $- \sin (\frac{3 π + x \cdot 2}{2})$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} - \sin (\frac{3 π + x \cdot 2}{2})$

Этап 5.2

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- lim_{x \to 0} \sin (\frac{3 π + x \cdot 2}{2})$

Этап 5.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$- \sin (lim_{x \to 0} \frac{3 π + x \cdot 2}{2})$

Этап 5.4

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \sin (\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 3 π + x \cdot 2)$

Этап 5.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 3 π + lim_{x \to 0} x \cdot 2))$

Этап 5.6

Найдем предел $3 π$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (3 π + lim_{x \to 0} x \cdot 2))$

Этап 5.7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (3 π + 2 lim_{x \to 0} x))$

Этап 6

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (3 π + 2 \cdot 0))$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $2$ на $0$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (3 π + 0))$

Этап 7.2

Добавим $3 π$ и $0$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (3 π))$

Этап 7.3

Умножим $\frac{1}{2} (3 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \sin (\frac{3}{2} π)$

Этап 7.3.2

Объединим $\frac{3}{2}$ и $π$ .

$- \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 7.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- - \sin (\frac{π}{2})$

Этап 7.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Этап 7.6

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- - 1$

Этап 7.6.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1$