Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

Этап 1

Рассмотрим предел как левосторонний.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

Этап 2

Вычислим пределы, подставив значение переменной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел $\frac{\ln (x)}{\cot (x)}$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\ln (0)}{\cot (0)}$

Этап 2.2

Выразим $\cot (0)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}$

Этап 2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{0}}$

Этап 2.4

Так как выражение $\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{0}}$ не определено, предел не существует.

$Не существует$

Этап 3

Рассмотрим предел как правосторонний.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

Этап 4

Вычислим правосторонний предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

Этап 4.1.1.2

Когда $x$ стремится к $0$ справа, $\ln (x)$ неограниченно убывает.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

Этап 4.1.1.3

Когда $x$ стремится к $0$ справа, функция неограниченно возрастает.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Этап 4.1.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{- \infty}{\infty}$

Этап 4.1.2

Поскольку $\frac{- \infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Этап 4.1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Этап 4.1.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Этап 4.1.3.3

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \csc^{2} (x)}$

Этап 4.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- \csc^{2} (x)}$

Этап 4.1.5

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{- \csc^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (- \csc^{2} (x))}$

Этап 4.1.6

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1 (- 1)}{x (- \csc^{2} (x))}$

Этап 4.1.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$

Этап 4.2

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$

Этап 4.3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$ стремится к $0$ .

$- 0$

Этап 4.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0$

Этап 5

Если право- или левостороннего предел не существует, предел не существует.

$Не существует$