Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + 1)}{e^{5 x} - 1}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Этап 1.2.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Этап 1.2.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Этап 1.2.3.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 1.3.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} 5 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 1.3.1.3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{e^{5 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 1.3.1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{e^{5 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{e^{5 \cdot 0} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.3.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + 1)}{e^{5 x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Этап 3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Этап 3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Этап 3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Этап 3.7

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Этап 3.8

По правилу суммы производная $e^{5 x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.9

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.9.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.9.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.9.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.9.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.9.4

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.9.5

Перенесем $5$ влево от $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{5 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{5 e^{5 x} + 0}$

Этап 3.11

Добавим $5 e^{5 x}$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{5 e^{5 x}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{5 e^{5 x}}$

Этап 5

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $\frac{1}{5 e^{5 x}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{(x + 1) (5 e^{5 x})}$

Этап 6

Вынесем член $\frac{1}{5}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{1}{(x + 1) (e^{5 x})}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (e^{5 x})}$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (e^{5 x})}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x + 1 \cdot lim_{x \to 0} e^{5 x}}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} e^{5 x}}$

Этап 11

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot lim_{x \to 0} e^{5 x}}$

Этап 12

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} 5 x}}$

Этап 13

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{5 lim_{x \to 0} x}}$

Этап 14

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(0 + 1) \cdot e^{5 lim_{x \to 0} x}}$

Этап 14.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(0 + 1) \cdot e^{5 \cdot 0}}$

Этап 15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим.

$\frac{1 \cdot 1}{5 ((0 + 1) \cdot e^{5 \cdot 0})}$

Этап 15.2

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{5 (0 + 1) \cdot e^{5 \cdot 0}}$

Этап 15.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{1}{5 (0 + 1) e^{0}}$

Этап 15.3.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{5 \cdot 1 e^{0}}$

Этап 15.3.3

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{5 e^{0}}$

Этап 15.3.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{5 \cdot 1}$

Этап 15.4

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{5}$