Математический анализ Примеры

$y = 2 x^{2} + 1$ , $y = 2 x + 9$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = 2 x + 9$ и $g (x) = 2 x^{2} + 1$

Этап 2

Упростим подынтегральное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем ${(2 x + 9)}^{2}$ в виде $(2 x + 9) (2 x + 9)$ .

$V = (2 x + 9) (2 x + 9) - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 2.1.2

Развернем $(2 x + 9) (2 x + 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$V = 2 x (2 x + 9) + 9 (2 x + 9) - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$V = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 9 + 9 (2 x + 9) - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$V = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 9 + 9 (2 x) + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$V = 2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 9 + 9 (2 x) + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 2.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$V = 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 9 + 9 (2 x) + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 2.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$V = 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 9 + 9 (2 x) + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 2.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$V = 4 x^{2} + 2 x \cdot 9 + 9 (2 x) + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 2.1.3.1.4

Умножим $9$ на $2$ .

$V = 4 x^{2} + 18 x + 9 (2 x) + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 2.1.3.1.5

Умножим $2$ на $9$ .

$V = 4 x^{2} + 18 x + 18 x + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 2.1.3.1.6

Умножим $9$ на $9$ .

$V = 4 x^{2} + 18 x + 18 x + 81 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 2.1.3.2

Добавим $18 x$ и $18 x$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 2.1.4

Перепишем ${(2 x^{2} + 1)}^{2}$ в виде $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - ((2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1))$

Этап 2.1.5

Развернем $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 x^{2} (2 x^{2} + 1) + 1 (2 x^{2} + 1))$

Этап 2.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2} + 1))$

Этап 2.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

Этап 2.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

Этап 2.1.6.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

Этап 2.1.6.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

Этап 2.1.6.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

Этап 2.1.6.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (4 x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

Этап 2.1.6.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (4 x^{4} + 2 x^{2} + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

Этап 2.1.6.1.5

Умножим $2 x^{2}$ на $1$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1 \cdot 1)$

Этап 2.1.6.1.6

Умножим $1$ на $1$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1)$

Этап 2.1.6.2

Добавим $2 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (4 x^{4} + 4 x^{2} + 1)$

Этап 2.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (4 x^{4}) - (4 x^{2}) - 1 \cdot 1$

Этап 2.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - 4 x^{4} - (4 x^{2}) - 1 \cdot 1$

Этап 2.1.8.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - 4 x^{4} - 4 x^{2} - 1 \cdot 1$

Этап 2.1.8.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - 4 x^{4} - 4 x^{2} - 1$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим противоположные члены в $4 x^{2} + 36 x + 81 - 4 x^{4} - 4 x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вычтем $4 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$V = 36 x + 81 - 4 x^{4} + 0 - 1$

Этап 2.2.1.2

Добавим $36 x + 81 - 4 x^{4}$ и $0$ .

$V = 36 x + 81 - 4 x^{4} - 1$

Этап 2.2.2

Вычтем $1$ из $81$ .

$V = 36 x - 4 x^{4} + 80$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 36 x d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} - 4 x^{4} d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

Этап 4

Поскольку $36$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $36$ из-под знака интеграла.

$V = π (36 \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} x d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} - 4 x^{4} d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (36 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} - 4 x^{4} d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} - 4 x^{4} d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

Этап 7

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$V = π (36 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) - 4 \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} x^{4} d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) - 4 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) - 4 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$V = π (36 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) - 4 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) + 80 x]_{- 1.56155281}^{2.56155281})$

Этап 11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2.56155281$ и в $- 1.56155281$ .

$V = π (36 ((\frac{{2.56155281}^{2}}{2}) - \frac{{(- 1.56155281)}^{2}}{2}) - 4 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) + 80 x]_{- 1.56155281}^{2.56155281})$

Этап 11.2

Найдем значение $\frac{x^{5}}{5}$ в $2.56155281$ и в $- 1.56155281$ .

$V = π (36 (\frac{{2.56155281}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.56155281)}^{2}}{2}) - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 x]_{- 1.56155281}^{2.56155281})$

Этап 11.3

Найдем значение $80 x$ в $2.56155281$ и в $- 1.56155281$ .

$V = π (36 (\frac{{2.56155281}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.56155281)}^{2}}{2}) - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Возведем $2.56155281$ в степень $2$ .

$V = π (36 (\frac{6.56155281}{2} - \frac{{(- 1.56155281)}^{2}}{2}) - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.2

Возведем $- 1.56155281$ в степень $2$ .

$V = π (36 (\frac{6.56155281}{2} - \frac{2.43844718}{2}) - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (36 (\frac{6.56155281 - 2.43844718}{2}) - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.4

Вычтем $2.43844718$ из $6.56155281$ .

$V = π (36 (\frac{4.12310562}{2}) - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.5

Объединим $36$ и $\frac{4.12310562}{2}$ .

$V = π (\frac{36 \cdot 4.12310562}{2} - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.6

Умножим $36$ на $4.12310562$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.7

Возведем $2.56155281$ в степень $5$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{110.28503157}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.8

Возведем $- 1.56155281$ в степень $5$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{110.28503157}{5} - \frac{- 9.28503157}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{110.28503157}{5} + \frac{9.28503157}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{110.28503157}{5} + 1 (\frac{9.28503157}{5})) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.11

Умножим $\frac{9.28503157}{5}$ на $1$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{110.28503157}{5} + \frac{9.28503157}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 \frac{110.28503157 + 9.28503157}{5} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.13

Добавим $110.28503157$ и $9.28503157$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{119.57006314}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.14

Объединим $- 4$ и $\frac{119.57006314}{5}$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} + \frac{- 4 \cdot 119.57006314}{5} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.15

Умножим $- 4$ на $119.57006314$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} + \frac{- 478.28025257}{5} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - \frac{478.28025257}{5} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.17

Чтобы записать $\frac{148.43180252}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{478.28025257}{5} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.18

Чтобы записать $- \frac{478.28025257}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{478.28025257}{5} \cdot \frac{2}{2} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.19

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $10$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.19.1

Умножим $\frac{148.43180252}{2}$ на $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{148.43180252 \cdot 5}{2 \cdot 5} - \frac{478.28025257}{5} \cdot \frac{2}{2} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.19.2

Умножим $2$ на $5$ .

$V = π (\frac{148.43180252 \cdot 5}{10} - \frac{478.28025257}{5} \cdot \frac{2}{2} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.19.3

Умножим $\frac{478.28025257}{5}$ на $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{148.43180252 \cdot 5}{10} - \frac{478.28025257 \cdot 2}{5 \cdot 2} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.19.4

Умножим $5$ на $2$ .

$V = π (\frac{148.43180252 \cdot 5}{10} - \frac{478.28025257 \cdot 2}{10} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{148.43180252 \cdot 5 - 478.28025257 \cdot 2}{10} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.21

Умножим $148.43180252$ на $5$ .

$V = π (\frac{742.15901261 - 478.28025257 \cdot 2}{10} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.22

Умножим $- 478.28025257$ на $2$ .

$V = π (\frac{742.15901261 - 956.56050514}{10} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.23

Вычтем $956.56050514$ из $742.15901261$ .

$V = π (\frac{- 214.40149253}{10} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.24

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = π (- \frac{214.40149253}{10} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.25

Умножим $80$ на $2.56155281$ .

$V = π (- \frac{214.40149253}{10} + 204.92422502 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Этап 11.4.26

Умножим $- 80$ на $- 1.56155281$ .

$V = π (- \frac{214.40149253}{10} + 204.92422502 + 124.92422502)$

Этап 11.4.27

Добавим $204.92422502$ и $124.92422502$ .

$V = π (- \frac{214.40149253}{10} + 329.84845004)$

Этап 11.4.28

Чтобы записать $329.84845004$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{10}{10}$ .

$V = π (- \frac{214.40149253}{10} + 329.84845004 \cdot \frac{10}{10})$

Этап 11.4.29

Объединим $329.84845004$ и $\frac{10}{10}$ .

$V = π (- \frac{214.40149253}{10} + \frac{329.84845004 \cdot 10}{10})$

Этап 11.4.30

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{- 214.40149253 + 329.84845004 \cdot 10}{10})$

Этап 11.4.31

Умножим $329.84845004$ на $10$ .

$V = π (\frac{- 214.40149253 + 3298.48450049}{10})$

Этап 11.4.32

Добавим $- 214.40149253$ и $3298.48450049$ .

$V = π (\frac{3084.08300796}{10})$

Этап 11.4.33

Объединим $π$ и $\frac{3084.08300796}{10}$ .

$V = \frac{π \cdot 3084.08300796}{10}$

Этап 11.4.34

Умножим $π$ на $3084.08300796$ .

$V = \frac{9688.93252087}{10}$

Этап 12

Разделим $9688.93252087$ на $10$ .

$V = 968.89325208$

Этап 13