Математический анализ Примеры

$y = - x^{2} + 4$ , $y = 0$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 2}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = - x^{2} + 4$

Этап 2

Упростим подынтегральное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(- x^{2} + 4)}^{2}$ в виде $(- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$ .

$V = (- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$

Этап 2.2

Развернем $(- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$V = - x^{2} (- x^{2} + 4) + 4 (- x^{2} + 4)$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2} + 4)$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$V = 1 x^{4} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.4

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.5

Умножим $4$ на $- 1$ .

$V = x^{4} - 4 x^{2} + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.6

Умножим $- 1$ на $4$ .

$V = x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.7

Умножим $4$ на $4$ .

$V = x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16$

Этап 2.3.2

Вычтем $4 x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$V = x^{4} - 8 x^{2} + 16$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{- 2}^{2} x^{4} d x + \int_{- 2}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 16 d x)$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 16 d x)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 16 d x)$

Этап 6

Поскольку $- 8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 8$ из-под знака интеграла.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{2} - 8 \int_{- 2}^{2} x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 16 d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{2} - 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 16 d x)$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 16 d x)$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + 16 x]_{- 2}^{2})$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{2}$ и $16 x]_{- 2}^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + 16 x]_{- 2}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}))$

Этап 10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем значение $\frac{x^{5}}{5} + 16 x$ в $2$ и в $- 2$ .

$V = π ((\frac{2^{5}}{5} + 16 \cdot 2) - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}))$

Этап 10.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $- 2$ .

$V = π ((\frac{2^{5}}{5} + 16 \cdot 2) - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Возведем $2$ в степень $5$ .

$V = π (\frac{32}{5} + 16 \cdot 2 - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.2

Умножим $16$ на $2$ .

$V = π (\frac{32}{5} + 32 - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.3

Чтобы записать $32$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{32}{5} + 32 \cdot \frac{5}{5} - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.4

Объединим $32$ и $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{32}{5} + \frac{32 \cdot 5}{5} - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{32 + 32 \cdot 5}{5} - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.6.1

Умножим $32$ на $5$ .

$V = π (\frac{32 + 160}{5} - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.6.2

Добавим $32$ и $160$ .

$V = π (\frac{192}{5} - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.7

Возведем $- 2$ в степень $5$ .

$V = π (\frac{192}{5} - (\frac{- 32}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = π (\frac{192}{5} - (- \frac{32}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.9

Умножим $16$ на $- 2$ .

$V = π (\frac{192}{5} - (- \frac{32}{5} - 32) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.10

Чтобы записать $- 32$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{192}{5} - (- \frac{32}{5} - 32 \cdot \frac{5}{5}) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.11

Объединим $- 32$ и $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{192}{5} - (- \frac{32}{5} + \frac{- 32 \cdot 5}{5}) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{192}{5} - \frac{- 32 - 32 \cdot 5}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.13.1

Умножим $- 32$ на $5$ .

$V = π (\frac{192}{5} - \frac{- 32 - 160}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.13.2

Вычтем $160$ из $- 32$ .

$V = π (\frac{192}{5} - \frac{- 192}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = π (\frac{192}{5} + \frac{192}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.15

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$V = π (\frac{192}{5} + 1 (\frac{192}{5}) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.16

Умножим $\frac{192}{5}$ на $1$ .

$V = π (\frac{192}{5} + \frac{192}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{192 + 192}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.18

Добавим $192$ и $192$ .

$V = π (\frac{384}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.19

Возведем $2$ в степень $3$ .

$V = π (\frac{384}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 10.2.3.20

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$V = π (\frac{384}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{- 8}{3}))$

Этап 10.2.3.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = π (\frac{384}{5} - 8 (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}))$

Этап 10.2.3.22

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$V = π (\frac{384}{5} - 8 (\frac{8}{3} + 1 (\frac{8}{3})))$

Этап 10.2.3.23

Умножим $\frac{8}{3}$ на $1$ .

$V = π (\frac{384}{5} - 8 (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}))$

Этап 10.2.3.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{384}{5} - 8 \frac{8 + 8}{3})$

Этап 10.2.3.25

Добавим $8$ и $8$ .

$V = π (\frac{384}{5} - 8 (\frac{16}{3}))$

Этап 10.2.3.26

Объединим $- 8$ и $\frac{16}{3}$ .

$V = π (\frac{384}{5} + \frac{- 8 \cdot 16}{3})$

Этап 10.2.3.27

Умножим $- 8$ на $16$ .

$V = π (\frac{384}{5} + \frac{- 128}{3})$

Этап 10.2.3.28

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = π (\frac{384}{5} - \frac{128}{3})$

Этап 10.2.3.29

Чтобы записать $\frac{384}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{384}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{128}{3})$

Этап 10.2.3.30

Чтобы записать $- \frac{128}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{384}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{128}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Этап 10.2.3.31

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.31.1

Умножим $\frac{384}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{384 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{128}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Этап 10.2.3.31.2

Умножим $5$ на $3$ .

$V = π (\frac{384 \cdot 3}{15} - \frac{128}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Этап 10.2.3.31.3

Умножим $\frac{128}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{384 \cdot 3}{15} - \frac{128 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Этап 10.2.3.31.4

Умножим $3$ на $5$ .

$V = π (\frac{384 \cdot 3}{15} - \frac{128 \cdot 5}{15})$

Этап 10.2.3.32

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{384 \cdot 3 - 128 \cdot 5}{15})$

Этап 10.2.3.33

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.33.1

Умножим $384$ на $3$ .

$V = π (\frac{1152 - 128 \cdot 5}{15})$

Этап 10.2.3.33.2

Умножим $- 128$ на $5$ .

$V = π (\frac{1152 - 640}{15})$

Этап 10.2.3.33.3

Вычтем $640$ из $1152$ .

$V = π (\frac{512}{15})$

Этап 10.2.3.34

Объединим $π$ и $\frac{512}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 512}{15}$

Этап 10.2.3.35

Перенесем $512$ влево от $π$ .

$V = \frac{512 π}{15}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{512 π}{15}$

Десятичная форма:

$V = 107.23302924 \dots$

Этап 12