Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{36 - x^{2}}$ , $y = 0$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 6}^{6} {(f (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = \sqrt{(6 + x) (6 - x)}$

Этап 2

Упростим подынтегральное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}^{2}$ в виде $(6 + x) (6 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(6 + x) (6 - x)}$ в виде ${((6 + x) (6 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {({((6 + x) (6 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {((6 + x) (6 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$V = {((6 + x) (6 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$V = {((6 + x) (6 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$V = (6 + x) (6 - x)$

Этап 2.1.5

Упростим.

$V = (6 + x) (6 - x)$

Этап 2.2

Развернем $(6 + x) (6 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$V = 6 (6 - x) + x (6 - x)$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$V = 6 \cdot 6 + 6 (- x) + x (6 - x)$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$V = 6 \cdot 6 + 6 (- x) + x \cdot 6 + x (- x)$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $6$ на $6$ .

$V = 36 + 6 (- x) + x \cdot 6 + x (- x)$

Этап 2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$V = 36 - 6 x + x \cdot 6 + x (- x)$

Этап 2.3.1.3

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$V = 36 - 6 x + 6 \cdot x + x (- x)$

Этап 2.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$V = 36 - 6 x + 6 x - x \cdot x$

Этап 2.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$V = 36 - 6 x + 6 x - (x \cdot x)$

Этап 2.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$V = 36 - 6 x + 6 x - x^{2}$

Этап 2.3.2

Добавим $- 6 x$ и $6 x$ .

$V = 36 + 0 - x^{2}$

Этап 2.3.3

Добавим $36$ и $0$ .

$V = 36 - x^{2}$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{- 6}^{6} 36 d x + \int_{- 6}^{6} - x^{2} d x)$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$V = π (36 x]_{- 6}^{6} + \int_{- 6}^{6} - x^{2} d x)$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$V = π (36 x]_{- 6}^{6} - \int_{- 6}^{6} x^{2} d x)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (36 x]_{- 6}^{6} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 6}^{6}))$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$V = π (36 x]_{- 6}^{6} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{6}))$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $36 x$ в $6$ и в $- 6$ .

$V = π ((36 \cdot 6) - 36 \cdot - 6 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{6}))$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $6$ и в $- 6$ .

$V = π (36 \cdot 6 - 36 \cdot - 6 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $36$ на $6$ .

$V = π (216 - 36 \cdot - 6 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Этап 7.2.3.2

Умножим $- 36$ на $- 6$ .

$V = π (216 + 216 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Этап 7.2.3.3

Добавим $216$ и $216$ .

$V = π (432 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Этап 7.2.3.4

Возведем $6$ в степень $3$ .

$V = π (432 - (\frac{216}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Этап 7.2.3.5

Сократим общий множитель $216$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.5.1

Вынесем множитель $3$ из $216$ .

$V = π (432 - (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Этап 7.2.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$V = π (432 - (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Этап 7.2.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (432 - (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Этап 7.2.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (432 - (\frac{72}{1} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Этап 7.2.3.5.2.4

Разделим $72$ на $1$ .

$V = π (432 - (72 - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Этап 7.2.3.6

Возведем $- 6$ в степень $3$ .

$V = π (432 - (72 - \frac{- 216}{3}))$

Этап 7.2.3.7

Сократим общий множитель $- 216$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.7.1

Вынесем множитель $3$ из $- 216$ .

$V = π (432 - (72 - \frac{3 \cdot - 72}{3}))$

Этап 7.2.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$V = π (432 - (72 - \frac{3 \cdot - 72}{3 (1)}))$

Этап 7.2.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (432 - (72 - \frac{3 \cdot - 72}{3 \cdot 1}))$

Этап 7.2.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (432 - (72 - \frac{- 72}{1}))$

Этап 7.2.3.7.2.4

Разделим $- 72$ на $1$ .

$V = π (432 - (72 + 72))$

Этап 7.2.3.8

Умножим $- 1$ на $- 72$ .

$V = π (432 - (72 + 72))$

Этап 7.2.3.9

Добавим $72$ и $72$ .

$V = π (432 - 1 \cdot 144)$

Этап 7.2.3.10

Умножим $- 1$ на $144$ .

$V = π (432 - 144)$

Этап 7.2.3.11

Вычтем $144$ из $432$ .

$V = π \cdot 288$

Этап 7.2.3.12

Перенесем $288$ влево от $π$ .

$V = 288 π$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = 288 π$

Десятичная форма:

$V = 904.77868423 \dots$

Этап 9