Математический анализ Примеры

$\frac{π h^{2} (3 r - h)}{3}$

Этап 1

Поскольку $\frac{π}{3}$ является константой относительно $h$ , производная $\frac{π h^{2} (3 r - h)}{3}$ по $h$ равна $\frac{π}{3} \frac{d}{d h} [h^{2} (3 r - h)]$ .

$\frac{π}{3} \frac{d}{d h} [h^{2} (3 r - h)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ имеет вид $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ , где $f (h) = h^{2}$ и $g (h) = 3 r - h$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} \frac{d}{d h} [3 r - h] + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 r - h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [3 r] + \frac{d}{d h} [- h]$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} (\frac{d}{d h} [3 r] + \frac{d}{d h} [- h]) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Этап 3.2

Поскольку $3 r$ является константой относительно $h$ , производная $3 r$ относительно $h$ равна $0$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} (0 + \frac{d}{d h} [- h]) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d h} [- h]$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} \frac{d}{d h} [- h] + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $h$ , производная $- h$ по $h$ равна $- \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} (- \frac{d}{d h} [h]) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} (- 1 \cdot 1) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} \cdot - 1 + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Этап 3.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $h^{2}$ .

$\frac{π}{3} (- 1 \cdot h^{2} + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Этап 3.6.3

Перепишем $- 1 h^{2}$ в виде $- h^{2}$ .

$\frac{π}{3} (- h^{2} + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{π}{3} (- h^{2} + (3 r - h) (2 h))$

Этап 3.8

Перенесем $2$ влево от $3 r - h$ .

$\frac{π}{3} (- h^{2} + 2 \cdot (3 r - h) h)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{π}{3} (- h^{2} + (2 (3 r) + 2 (- h)) h)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{π}{3} (- h^{2} + 2 (3 r) h + 2 (- h) h)$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{π}{3} (- h^{2}) + \frac{π}{3} (2 (3 r) h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Этап 4.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Объединим $\frac{π}{3}$ и $h^{2}$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{π}{3} (2 (3 r) h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Этап 4.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{π}{3} (6 r h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Этап 4.4.3

Объединим $6$ и $\frac{π}{3}$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{6 π}{3} (r h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Этап 4.4.4

Объединим $r$ и $\frac{6 π}{3}$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{r (6 π)}{3} h + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Этап 4.4.5

Объединим $\frac{r (6 π)}{3}$ и $h$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{r (6 π) h}{3} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Этап 4.4.6

Перенесем $6$ влево от $r$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{6 \cdot r π h}{3} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Этап 4.4.7

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.7.1

Вынесем множитель $3$ из $6 r π h$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{3 (2 r π h)}{3} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Этап 4.4.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{3 (2 r π h)}{3 (1)} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Этап 4.4.7.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{3 (2 r π h)}{3 \cdot 1} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Этап 4.4.7.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{2 r π h}{1} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Этап 4.4.7.2.4

Разделим $2 r π h$ на $1$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Этап 4.4.8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 h \cdot h)$

Этап 4.4.9

Возведем $h$ в степень $1$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 (h^{1} h))$

Этап 4.4.10

Возведем $h$ в степень $1$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 (h^{1} h^{1}))$

Этап 4.4.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 h^{1 + 1})$

Этап 4.4.12

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 h^{2})$

Этап 4.4.13

Объединим $- 2$ и $\frac{π}{3}$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{- 2 π}{3} h^{2}$

Этап 4.4.14

Объединим $\frac{- 2 π}{3}$ и $h^{2}$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{- 2 π h^{2}}{3}$

Этап 4.4.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h - \frac{2 π h^{2}}{3}$

Этап 4.4.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 r π h + \frac{- π h^{2} - 2 π h^{2}}{3}$

Этап 4.4.17

Вычтем $2 π h^{2}$ из $- π h^{2}$ .

$2 r π h + \frac{- 3 π h^{2}}{3}$

Этап 4.4.18

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.18.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 π h^{2}$ .

$2 r π h + \frac{3 (- π h^{2})}{3}$

Этап 4.4.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.18.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$2 r π h + \frac{3 (- π h^{2})}{3 (1)}$

Этап 4.4.18.2.2

Сократим общий множитель.

$2 r π h + \frac{3 (- π h^{2})}{3 \cdot 1}$

Этап 4.4.18.2.3

Перепишем это выражение.

$2 r π h + \frac{- π h^{2}}{1}$

Этап 4.4.18.2.4

Разделим $- π h^{2}$ на $1$ .

$2 r π h - π h^{2}$

Этап 4.5

Изменим порядок членов.

$2 π h r - π h^{2}$