Математический анализ Примеры

$f (x) = x - x^{- 1}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x - x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{- 1}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$1 - - x^{- 2}$

Этап 1.1.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 + 1 x^{- 2}$

Этап 1.1.2.4

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$1 + x^{- 2}$

Этап 1.1.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = x^{- 2} + 1$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{- 2} + 1$ .

$x^{- 2} + 1$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{- 2} + 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{- 2} + 1 = 0$

Этап 2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Этап 2.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x^{2}} = - 1$

Этап 2.4

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2}, 1$

Этап 2.4.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2}$

Этап 2.5

Каждый член в $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ на $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Этап 2.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = - x^{2}$

Этап 2.6

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Перепишем уравнение в виде $- x^{2} = 1$ .

$- x^{2} = 1$

Этап 2.6.2

Разделим каждый член $- x^{2} = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 2.6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 2.6.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

Этап 2.6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$x^{2} = - 1$

Этап 2.6.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 2.6.4

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 2.6.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 2.6.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 2.6.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 3

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 4

Зададим основание в $x^{- 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = x^{- 2} + 1$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = x - x^{- 1}$ в интервале $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = {(- 1)}^{- 2} + 1$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{{(- 1)}^{2}} + 1$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{1} + 1$

Этап 6.2.1.3

Разделим $1$ на $1$ .

$f' (- 1) = 1 + 1$

Этап 6.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (- 1) = 2$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 6.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $2$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = {(1)}^{- 2} + 1$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 1 + 1$

Этап 7.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (1) = 2$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 7.3

При $x = 1$ производная имеет вид $2$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Этап 9