Математический анализ Примеры

$f (t) = t + \cos (t)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $t + \cos (t)$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Этап 1.1.2

Производная $\cos (t)$ по $t$ равна $- \sin (t)$ .

$f' (t) = 1 - \sin (t)$

Этап 1.2

Первая производная $f (t)$ по $t$ равна $1 - \sin (t)$ .

$1 - \sin (t)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $1 - \sin (t) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$1 - \sin (t) = 0$

Этап 2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \sin (t) = - 1$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- \sin (t) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- \sin (t) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin (t)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (t)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.3.2.2

Разделим $\sin (t)$ на $1$ .

$\sin (t) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\sin (t) = 1$

Этап 2.4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из синуса.

$t = \arcsin (1)$

Этап 2.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$t = \frac{π}{2}$

Этап 2.6

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$t = π - \frac{π}{2}$

Этап 2.7

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$t = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.7.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$t = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.7.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$t = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 2.7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$t = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 2.7.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$t = \frac{π}{2}$

Этап 2.8

Найдем период $\sin (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.8.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.9

Период функции $\sin (t)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{π}{2} + 2 π n$ .

$\frac{π}{2} + 2 π n$

Этап 4

Найдя точку, в которой производная $f' (t) = 1 - \sin (t)$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (t) = t + \cos (t)$ в интервале $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $\frac{π}{2} + 2 π n - 1$ .

$f' (\frac{π}{2} + 2 π n - 1) = 1 - \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$

Этап 5.2

Окончательный ответ: $1 - \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$ .

$1 - \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$

Этап 5.3

Упростим.

$1 - \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$

Этап 5.4

При $t = \frac{π}{2} + 2 π n - 1$ производная имеет вид $1 - \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n)$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n)$ , так как $f' (t) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $\frac{π}{2} + 2 π n + 1$ .

$f' (\frac{π}{2} + 2 π n + 1) = 1 - \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$

Этап 6.2

Окончательный ответ: $1 - \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$ .

$1 - \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$

Этап 6.3

Упростим.

$1 - \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$

Этап 6.4

При $t = \frac{π}{2} + 2 π n + 1$ производная имеет вид $1 - \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

Убывание на $(\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ , так как $f' (t) < 0$

Этап 7

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Убывание на: $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n), (\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$

Этап 8