Математический анализ Примеры

$g (t) = t^{2} {(3 t + 9)}^{4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = {(3 t + 9)}^{4}$ .

$f' (t) = t^{2} \frac{d}{d t} ({(3 t + 9)}^{4}) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{4}$ и $g (t) = 3 t + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 t + 9$ .

$f' (t) = t^{2} (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d t} (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (t) = t^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d t} (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 t + 9$ .

$f' (t) = t^{2} (4 {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $3 t + 9$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$f' (t) = t^{2} (4 {(3 t + 9)}^{3} (\frac{d}{d t} (3 t) + \frac{d}{d t} (9))) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Этап 1.3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$f' (t) = t^{2} (4 {(3 t + 9)}^{3} (3 \frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (9))) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (t) = t^{2} (4 {(3 t + 9)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} (9))) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Этап 1.3.4

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (t) = t^{2} (4 {(3 t + 9)}^{3} (3 + \frac{d}{d t} (9))) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Этап 1.3.5

Поскольку $9$ является константой относительно $t$ , производная $9$ относительно $t$ равна $0$ .

$f' (t) = t^{2} (4 {(3 t + 9)}^{3} (3 + 0)) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Этап 1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$f' (t) = t^{2} (4 {(3 t + 9)}^{3} \cdot 3) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Этап 1.3.6.2

Умножим $3$ на $4$ .

$f' (t) = t^{2} (12 {(3 t + 9)}^{3}) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (t) = t^{2} (12 {(3 t + 9)}^{3}) + {(3 t + 9)}^{4} (2 t)$

Этап 1.3.8

Перенесем $2$ влево от ${(3 t + 9)}^{4}$ .

$f' (t) = t^{2} (12 {(3 t + 9)}^{3}) + 2 \cdot ({(3 t + 9)}^{4} t)$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $t \cdot 2 {(3 t + 9)}^{3}$ из $t^{2} (12 {(3 t + 9)}^{3}) + 2 {(3 t + 9)}^{4} t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вынесем множитель $t \cdot 2 {(3 t + 9)}^{3}$ из $t^{2} (12 {(3 t + 9)}^{3})$ .

$f' (t) = t \cdot (2 {(3 t + 9)}^{3} (t \cdot (6))) + 2 {(3 t + 9)}^{4} t$

Этап 1.4.1.2

Вынесем множитель $t \cdot 2 {(3 t + 9)}^{3}$ из $2 {(3 t + 9)}^{4} t$ .

$f' (t) = t \cdot (2 {(3 t + 9)}^{3} (t \cdot (6))) + t \cdot (2 {(3 t + 9)}^{3} (3 t + 9))$

Этап 1.4.1.3

Вынесем множитель $t \cdot 2 {(3 t + 9)}^{3}$ из $t \cdot 2 {(3 t + 9)}^{3} (t \cdot (6)) + t \cdot 2 {(3 t + 9)}^{3} (3 t + 9)$ .

$f' (t) = t \cdot (2 {(3 t + 9)}^{3} (t \cdot (6) + 3 t + 9))$

Этап 1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Перенесем $2$ влево от $t$ .

$f' (t) = 2 \cdot (t {(3 t + 9)}^{3} (t \cdot (6) + 3 t + 9))$

Этап 1.4.2.2

Перенесем $6$ влево от $t$ .

$f' (t) = 2 t {(3 t + 9)}^{3} (6 \cdot t + 3 t + 9)$

Этап 1.4.2.3

Добавим $6 t$ и $3 t$ .

$f' (t) = 2 t {(3 t + 9)}^{3} (9 t + 9)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t {(3 t + 9)}^{3} (9 t + 9)$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t {(3 t + 9)}^{3} (9 t + 9)]$ .

$f'' (t) = 2 \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3} (9 t + 9))$

Этап 2.2

$f'' (t) = 2 (t {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (9 t + 9) + (9 t + 9) \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $9 t + 9$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [9 t] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$f'' (t) = 2 (t {(3 t + 9)}^{3} (\frac{d}{d t} (9 t) + \frac{d}{d t} (9)) + (9 t + 9) \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.3.2

Поскольку $9$ является константой относительно $t$ , производная $9 t$ по $t$ равна $9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$f'' (t) = 2 (t {(3 t + 9)}^{3} (9 \frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (9)) + (9 t + 9) \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (t) = 2 (t {(3 t + 9)}^{3} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d t} (9)) + (9 t + 9) \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.3.4

Умножим $9$ на $1$ .

$f'' (t) = 2 (t {(3 t + 9)}^{3} (9 + \frac{d}{d t} (9)) + (9 t + 9) \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.3.5

Поскольку $9$ является константой относительно $t$ , производная $9$ относительно $t$ равна $0$ .

$f'' (t) = 2 (t {(3 t + 9)}^{3} (9 + 0) + (9 t + 9) \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Добавим $9$ и $0$ .

$f'' (t) = 2 (t {(3 t + 9)}^{3} \cdot 9 + (9 t + 9) \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.3.6.2

Перенесем $9$ влево от $t {(3 t + 9)}^{3}$ .

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (t {(3 t + 9)}^{3}) + (9 t + 9) \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.4

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t \frac{d}{d t} ({(3 t + 9)}^{3}) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Этап 2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 t + 9$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d t} (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (3 u^{2} \frac{d}{d t} (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 t + 9$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (3 {(3 t + 9)}^{2} \frac{d}{d t} (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Этап 2.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

По правилу суммы производная $3 t + 9$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (3 {(3 t + 9)}^{2} (\frac{d}{d t} (3 t) + \frac{d}{d t} (9))) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Этап 2.6.2

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (3 {(3 t + 9)}^{2} (3 \frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (9))) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Этап 2.6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (3 {(3 t + 9)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} (9))) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Этап 2.6.4

Умножим $3$ на $1$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (3 {(3 t + 9)}^{2} (3 + \frac{d}{d t} (9))) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Этап 2.6.5

Поскольку $9$ является константой относительно $t$ , производная $9$ относительно $t$ равна $0$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (3 {(3 t + 9)}^{2} (3 + 0)) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Этап 2.6.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (3 {(3 t + 9)}^{2} \cdot 3) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Этап 2.6.6.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Этап 2.6.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3} \cdot 1))$

Этап 2.6.8

Умножим ${(3 t + 9)}^{3}$ на $1$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3}) + 2 ((9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.2

Умножим $9$ на $2$ .

$f'' (t) = 18 (t {(3 t + 9)}^{3}) + 2 ((9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.3

Вынесем множитель $2$ из $18 t {(3 t + 9)}^{3} + 2 (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Вынесем множитель $2$ из $18 t {(3 t + 9)}^{3}$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3}) + 2 (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3})$

Этап 2.7.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3})$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3}) + 2 ((9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (9 t {(3 t + 9)}^{3}) + 2 ((9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f'' (t) = 2 (9 t ({(3 t)}^{3} + 3 {(3 t)}^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.2.1

Применим правило умножения к $3 t$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (3^{3} t^{3} + 3 {(3 t)}^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.2.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 3 {(3 t)}^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.2.3

Применим правило умножения к $3 t$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 3 (3^{2} t^{2}) \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.2.4

Умножим $3$ на $3^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.2.4.1

Перенесем $3^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 3^{2} \cdot (3 t^{2}) \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.2.4.2

Умножим $3^{2}$ на $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.2.4.2.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 3^{2} \cdot (3 t^{2}) \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 3^{2 + 1} t^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.2.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 3^{3} t^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.2.5

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 27 t^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.2.6

Умножим $9$ на $27$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 243 t^{2} + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.2.7

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 243 t^{2} + 9 t \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.2.8

Умножим $9$ на $9^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.2.8.1

Перенесем $9^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 243 t^{2} + 9^{2} \cdot (9 t) + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.2.8.2

Умножим $9^{2}$ на $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.2.8.2.1

Возведем $9$ в степень $1$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 243 t^{2} + 9^{2} \cdot (9 t) + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.2.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 243 t^{2} + 9^{2 + 1} t + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.2.8.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 243 t^{2} + 9^{3} t + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.2.9

Возведем $9$ в степень $3$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 243 t^{2} + 729 t + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.2.10

Возведем $9$ в степень $3$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 243 t^{2} + 729 t + 729) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3}) + 9 t (243 t^{2}) + 9 t (729 t) + 9 t \cdot 729 + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (27 t \cdot t^{3}) + 9 t (243 t^{2}) + 9 t (729 t) + 9 t \cdot 729 + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (27 t \cdot t^{3}) + 9 \cdot (243 t \cdot t^{2}) + 9 t (729 t) + 9 t \cdot 729 + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (27 t \cdot t^{3}) + 9 \cdot (243 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 9 t \cdot 729 + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.4.4

Умножим $729$ на $9$ .

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (27 t \cdot t^{3}) + 9 \cdot (243 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.5.1

Умножим $t$ на $t^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.5.1.1

Перенесем $t^{3}$ .

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (27 (t^{3} t)) + 9 \cdot (243 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.5.1.2

Умножим $t^{3}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.5.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (27 (t^{3} t)) + 9 \cdot (243 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (27 t^{3 + 1}) + 9 \cdot (243 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.5.1.3

Добавим $3$ и $1$ .

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (27 t^{4}) + 9 \cdot (243 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.5.2

Умножим $9$ на $27$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 9 \cdot (243 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.5.3

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.5.3.1

Перенесем $t^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 9 \cdot (243 (t^{2} t)) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.5.3.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.5.3.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 9 \cdot (243 (t^{2} t)) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.5.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 9 \cdot (243 t^{2 + 1}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.5.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 9 \cdot (243 t^{3}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.5.4

Умножим $9$ на $243$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.5.5

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.5.5.1

Перенесем $t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 9 \cdot (729 (t \cdot t)) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.5.5.2

Умножим $t$ на $t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 9 \cdot (729 t^{2}) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.5.6

Умножим $9$ на $729$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t {(3 t + 9)}^{2} + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.6.2

Перепишем ${(3 t + 9)}^{2}$ в виде $(3 t + 9) (3 t + 9)$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t ((3 t + 9) (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.6.3

Развернем $(3 t + 9) (3 t + 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.6.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (3 t (3 t + 9) + 9 (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.6.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (3 t (3 t) + 3 t \cdot 9 + 9 (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.6.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (3 t (3 t) + 3 t \cdot 9 + 9 (3 t) + 9 \cdot 9) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.6.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.6.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.6.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (3 \cdot (3 t \cdot t) + 3 t \cdot 9 + 9 (3 t) + 9 \cdot 9) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.6.4.1.2

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.6.4.1.2.1

Перенесем $t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (3 \cdot (3 (t \cdot t)) + 3 t \cdot 9 + 9 (3 t) + 9 \cdot 9) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.6.4.1.2.2

Умножим $t$ на $t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (3 \cdot (3 t^{2}) + 3 t \cdot 9 + 9 (3 t) + 9 \cdot 9) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.6.4.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (9 t^{2} + 3 t \cdot 9 + 9 (3 t) + 9 \cdot 9) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.6.4.1.4

Умножим $9$ на $3$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (9 t^{2} + 27 t + 9 (3 t) + 9 \cdot 9) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.6.4.1.5

Умножим $3$ на $9$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (9 t^{2} + 27 t + 27 t + 9 \cdot 9) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.6.4.1.6

Умножим $9$ на $9$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (9 t^{2} + 27 t + 27 t + 81) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.6.4.2

Добавим $27 t$ и $27 t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (9 t^{2} + 54 t + 81) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (9 t^{2}) + 9 t (54 t) + 9 t \cdot 81 + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.6.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.6.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 \cdot (9 t \cdot t^{2}) + 9 t (54 t) + 9 t \cdot 81 + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.6.6.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 \cdot (9 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (54 t \cdot t) + 9 t \cdot 81 + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.6.6.3

Умножим $81$ на $9$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 \cdot (9 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (54 t \cdot t) + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.6.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.6.7.1

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.6.7.1.1

Перенесем $t^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 \cdot (9 (t^{2} t)) + 9 \cdot (54 t \cdot t) + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.6.7.1.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.6.7.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 \cdot (9 (t^{2} t)) + 9 \cdot (54 t \cdot t) + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.6.7.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 \cdot (9 t^{2 + 1}) + 9 \cdot (54 t \cdot t) + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.6.7.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 \cdot (9 t^{3}) + 9 \cdot (54 t \cdot t) + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.6.7.2

Умножим $9$ на $9$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 9 \cdot (54 t \cdot t) + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.6.7.3

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.6.7.3.1

Перенесем $t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 9 \cdot (54 (t \cdot t)) + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.6.7.3.2

Умножим $t$ на $t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 9 \cdot (54 t^{2}) + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.6.7.4

Умножим $9$ на $54$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Этап 2.7.4.6.8

Воспользуемся бином Ньютона.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + {(3 t)}^{3} + 3 {(3 t)}^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Этап 2.7.4.6.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.6.9.1

Применим правило умножения к $3 t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 3^{3} t^{3} + 3 {(3 t)}^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Этап 2.7.4.6.9.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 3 {(3 t)}^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Этап 2.7.4.6.9.3

Применим правило умножения к $3 t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 3 (3^{2} t^{2}) \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Этап 2.7.4.6.9.4

Умножим $3$ на $3^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.6.9.4.1

Перенесем $3^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 3^{2} \cdot (3 t^{2}) \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Этап 2.7.4.6.9.4.2

Умножим $3^{2}$ на $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.6.9.4.2.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 3^{2} \cdot (3 t^{2}) \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Этап 2.7.4.6.9.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 3^{2 + 1} t^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Этап 2.7.4.6.9.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 3^{3} t^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Этап 2.7.4.6.9.5

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 27 t^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Этап 2.7.4.6.9.6

Умножим $9$ на $27$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 243 t^{2} + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Этап 2.7.4.6.9.7

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 243 t^{2} + 9 t \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Этап 2.7.4.6.9.8

Умножим $9$ на $9^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.6.9.8.1

Перенесем $9^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 243 t^{2} + 9^{2} \cdot (9 t) + 9^{3}))$

Этап 2.7.4.6.9.8.2

Умножим $9^{2}$ на $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.6.9.8.2.1

Возведем $9$ в степень $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 243 t^{2} + 9^{2} \cdot (9 t) + 9^{3}))$

Этап 2.7.4.6.9.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 243 t^{2} + 9^{2 + 1} t + 9^{3}))$

Этап 2.7.4.6.9.8.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 243 t^{2} + 9^{3} t + 9^{3}))$

Этап 2.7.4.6.9.9

Возведем $9$ в степень $3$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 243 t^{2} + 729 t + 9^{3}))$

Этап 2.7.4.6.9.10

Возведем $9$ в степень $3$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 243 t^{2} + 729 t + 729))$

Этап 2.7.4.7

Добавим $81 t^{3}$ и $27 t^{3}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (108 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 243 t^{2} + 729 t + 729))$

Этап 2.7.4.8

Добавим $486 t^{2}$ и $243 t^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (108 t^{3} + 729 t^{2} + 729 t + 729 t + 729))$

Этап 2.7.4.9

Добавим $729 t$ и $729 t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (108 t^{3} + 729 t^{2} + 1458 t + 729))$

Этап 2.7.4.10

Развернем $(9 t + 9) (108 t^{3} + 729 t^{2} + 1458 t + 729)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 9 t (108 t^{3}) + 9 t (729 t^{2}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Этап 2.7.4.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.11.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 9 \cdot (108 t \cdot t^{3}) + 9 t (729 t^{2}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Этап 2.7.4.11.2

Умножим $t$ на $t^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.11.2.1

Перенесем $t^{3}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 9 \cdot (108 (t^{3} t)) + 9 t (729 t^{2}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Этап 2.7.4.11.2.2

Умножим $t^{3}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.11.2.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 9 \cdot (108 (t^{3} t)) + 9 t (729 t^{2}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Этап 2.7.4.11.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 9 \cdot (108 t^{3 + 1}) + 9 t (729 t^{2}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Этап 2.7.4.11.2.3

Добавим $3$ и $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 9 \cdot (108 t^{4}) + 9 t (729 t^{2}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Этап 2.7.4.11.3

Умножим $9$ на $108$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 9 t (729 t^{2}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Этап 2.7.4.11.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 9 \cdot (729 t \cdot t^{2}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Этап 2.7.4.11.5

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.11.5.1

Перенесем $t^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 9 \cdot (729 (t^{2} t)) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Этап 2.7.4.11.5.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.11.5.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 9 \cdot (729 (t^{2} t)) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Этап 2.7.4.11.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 9 \cdot (729 t^{2 + 1}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Этап 2.7.4.11.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 9 \cdot (729 t^{3}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Этап 2.7.4.11.6

Умножим $9$ на $729$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Этап 2.7.4.11.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 9 \cdot (1458 t \cdot t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Этап 2.7.4.11.8

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.11.8.1

Перенесем $t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 9 \cdot (1458 (t \cdot t)) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Этап 2.7.4.11.8.2

Умножим $t$ на $t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 9 \cdot (1458 t^{2}) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Этап 2.7.4.11.9

Умножим $9$ на $1458$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 13122 t^{2} + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Этап 2.7.4.11.10

Умножим $729$ на $9$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 13122 t^{2} + 6561 t + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Этап 2.7.4.11.11

Умножим $108$ на $9$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 13122 t^{2} + 6561 t + 972 t^{3} + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Этап 2.7.4.11.12

Умножим $729$ на $9$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 13122 t^{2} + 6561 t + 972 t^{3} + 6561 t^{2} + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Этап 2.7.4.11.13

Умножим $1458$ на $9$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 13122 t^{2} + 6561 t + 972 t^{3} + 6561 t^{2} + 13122 t + 9 \cdot 729)$

Этап 2.7.4.11.14

Умножим $9$ на $729$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 13122 t^{2} + 6561 t + 972 t^{3} + 6561 t^{2} + 13122 t + 6561)$

Этап 2.7.4.12

Добавим $6561 t^{3}$ и $972 t^{3}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 7533 t^{3} + 13122 t^{2} + 6561 t + 6561 t^{2} + 13122 t + 6561)$

Этап 2.7.4.13

Добавим $13122 t^{2}$ и $6561 t^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 7533 t^{3} + 19683 t^{2} + 6561 t + 13122 t + 6561)$

Этап 2.7.4.14

Добавим $6561 t$ и $13122 t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 7533 t^{3} + 19683 t^{2} + 19683 t + 6561)$

Этап 2.7.5

Добавим $243 t^{4}$ и $972 t^{4}$ .

$f'' (t) = 2 (1215 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 7533 t^{3} + 19683 t^{2} + 19683 t + 6561)$

Этап 2.7.6

Добавим $2187 t^{3}$ и $7533 t^{3}$ .

$f'' (t) = 2 (1215 t^{4} + 9720 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 19683 t^{2} + 19683 t + 6561)$

Этап 2.7.7

Добавим $6561 t^{2}$ и $19683 t^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (1215 t^{4} + 9720 t^{3} + 26244 t^{2} + 6561 t + 19683 t + 6561)$

Этап 2.7.8

Добавим $6561 t$ и $19683 t$ .

$f'' (t) = 2 (1215 t^{4} + 9720 t^{3} + 26244 t^{2} + 26244 t + 6561)$

Этап 2.7.9

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (t) = 2 (1215 t^{4}) + 2 (9720 t^{3}) + 2 (26244 t^{2}) + 2 (26244 t) + 2 \cdot 6561$

Этап 2.7.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.10.1

Умножим $1215$ на $2$ .

$f'' (t) = 2430 t^{4} + 2 (9720 t^{3}) + 2 (26244 t^{2}) + 2 (26244 t) + 2 \cdot 6561$

Этап 2.7.10.2

Умножим $9720$ на $2$ .

$f'' (t) = 2430 t^{4} + 19440 t^{3} + 2 (26244 t^{2}) + 2 (26244 t) + 2 \cdot 6561$

Этап 2.7.10.3

Умножим $26244$ на $2$ .

$f'' (t) = 2430 t^{4} + 19440 t^{3} + 52488 t^{2} + 2 (26244 t) + 2 \cdot 6561$

Этап 2.7.10.4

Умножим $26244$ на $2$ .

$f'' (t) = 2430 t^{4} + 19440 t^{3} + 52488 t^{2} + 52488 t + 2 \cdot 6561$

Этап 2.7.10.5

Умножим $2$ на $6561$ .

$f'' (t) = 2430 t^{4} + 19440 t^{3} + 52488 t^{2} + 52488 t + 13122$

Этап 3

Вторая производная $g (t)$ по $t$ равна $2430 t^{4} + 19440 t^{3} + 52488 t^{2} + 52488 t + 13122$ .

$2430 t^{4} + 19440 t^{3} + 52488 t^{2} + 52488 t + 13122$